Mængdelære

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Mængdelære er den matematiske teori om mængder, der repræsenterer mængder af abstrakte objekter. Mængdelæren er sammen med logik grundstenen i al moderne matematik. Mængdelæren gør kun brug af en slags elementer, mængder, og en relation, tilhørsrelationen.

Mængdelæren blev især udviklet i perioden 1880-1920. Georg Cantor definerede de første begreber, Bertrand Russell og David Hilbert bidrog væsentligt til at gøre det til en konsistent teori. Mængdebegrebet defineres af Zermelo-Fraenkels aksiomer, samt som oftest udvalgsaksiomet. Man ser derfor ofte mængdeaksiomerne skrevet som ZFC, hvor C'et står for "axiom of choice". John Venn udviklede Venn-diagrammet til visualisering af relationer og logiske forbindelse mellem mængder, som en videreudvikling af det tidligere Euler-diagram, udviklet af Leonhard Euler.

Som eksempel på hvordan matematik kan udledes af mængdelæren, kan de naturlige tal udtrykkes som mængder. 0 svarer til den tomme mængde, \emptyset, 1 til mængden indeholdende 0, dvs.den tomme mængde, 2 til mængden indeholdende {0,1}, dvs. den tomme mængde og 'mængden indeholdende den tomme mængde'. Hvert tal svarer altså til mængden af alle foregående tal. Dette giver direkte definitionen af at naturligt tals efterfølger, altså til +1. Herefter er det enkelt at aflede +, * og andre funktioner.

Grundlæggende ideer[redigér | redigér wikikode]

Mængdelære begynder med en fundamental binær relation mellem et objekt o og en mængde A. Hvis o er et element af A, skrives der o ∈ A. Mængder er selv objekter som derfor kan være elementer af andre mængder.

Hvis alle elementer af mængde A også er elementer af mængde B, så er A en delmængde af B, og betegnes A ⊆ B. For eksempel er {1,2} en delmængde af {1,2,3}, men {1,4} er ikke. Fra denne definition kan man konkludere, at enhver mængde er en delmængde af sig selv.


Matematik Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.