Georg Cantor

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Broom icon.svg Formatering
Denne artikel bør formateres (med afsnitsinddeling, interne links o.l.) som det anbefales i Wikipedias stilmanual. Husk også at tilføje kilder!
Wikitext.svg
Broom icon.svg Der mangler kildehenvisninger i denne artikel.
Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande som fremføres i artiklen.
Question book-4.svg

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3. marts 1845 i St. Petersburg6. januar 1918 i Halle) var en tysk matematiker; professor i Halle. Hans far var født i Danmark, og moren var russisk.

Han er grundlægger af mængdelæren og kendt for Cantors diagonalbevis.

Georg Cantor er også kendt for at have forholdt sig kritisk til Zenons paradoks "Achilleus og skildpadden" Han modbeviser Zenons teori om at Achilleus vil komme uendelig tæt på skildpadden, men aldrig nå op på siden af denne. Ifølge Cantor vil en uendelig decimalbrøk, der konvergerer imod et tal (grænseværdien for denne), have samme egenskaber som tallet (grænseværdien) selv og derfor være det selv samme tal. Eksempelvis kan tallet ’5’ også skrives som ’4,9999...’ og tallet ’1’ som ’0,9999...’. Den eneste forskel, ifølge Cantors opfattelse, er notationen. Man afviser altså begrebet om den uendeligt lille størrelse (0,00...1), der netop af Zenon, anses for den evige differens imellem Achilleus og skildpadden.

Når Achilleus således kommer uendelig tæt på skildpadden, vil dette sige det samme som at han allerede er oppe på siden af den og nu kan passere. Denne løsningsmodel forekommer umiddelbart intuitivt uplausibel. De færreste ville nok gå med til at eksempelvis ’0,999...’ er lig med ’1’. På den anden side er det lige så oplagt, at hvis ’X,9999...’=’X+1’ så ville der faktisk være tale om en løsning af Zenons paradoks. Men som det skal vise sig, er sagen lidt mere kompliceret end som så.

Beviset for at 0,999... = 1

Man kan opstille en generel aritmetisk funktion: (10*X-X)/9=X. Man tager et tal, ganger det med ti, trækker 1*X fra summen og dividerer med 9. Så får man igen ’X’. Lad os tage et par eksempler: Lad x være 2: 2 gange 10 er 20, 20 minus 2 er 18, 18/9 er 2. Lad så x være den uendelige decimalbrøk der konvergerer imod tallet 1/3, nemlig 0,333...: 0,333... gange med 10 er 3,333..., 3.333...minus 0,333... er 3, 3/9 er 0.333...(eller 1/3, da 3/9 kan reduceres til 1/3) Således har vi nu tjekket, at denne funktion kan anvendes på såvel naturlige tal som på en uendelig decimalbrøk. Lad os da prøve med en uendelig decimalbrøk, der konvergerer imod et naturligt tal, eksempelvis 0,999...: 0,999... gange med 10 er 9,999..., 9,999... minus 0,999... er 9, 9/9 er l. Med andre ord, hvis vi har at (10*X-X)/9=X så gælder det, at (X=0,999...)=(X=1), hvilket igen kan reduceres til udtrykket 0,999...=1. Således har vi her tilsyneladende et bevis for at en uendelig decimalbrøk, der konvergerer imod et naturligt tal er identisk med sin grænseværdi.

Hvis man er lidt fræk, kan man nøjes med at se på forskellen 1 – 0,999... Lad os holde os til noget, vi kan håndtere, og prøve at beregne 1 – 0,9 først. Det giver 0,1. Så lad os prøve med 1 – 0,99 = 0,01. Ligeledes udregnes 1 – 0,999 = 0,001. Nu er mønsteret tydeligt. Pointen er, at hvis man trækker 0,999... op til n decimaler fra 1, så får man 0,000... med et 1-tal på n'te decimalplads. Trækker man derimod 0,999... fra, dvs. hele den uendelige decimalbrøk, vil man aldrig nogensinde nå til den plads, hvor 1-tallet skal placeres. Deraf sluttes, at 1 – 0,999... = 0.

Tyskland Stub
Denne biografi om en tysker er kun påbegyndt. Du kan hjælpe Wikipedia ved at tilføje mere.
Biografi