Matematikkens filosofi

Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Matematikkens filosofi stiller nogle af de for matematikken mest grundlæggende spørgsmål, nemlig hvad er matematik og hvordan skal matematikken anvendes. Matematikkens filosofi er lige så gammel som filosofien og matematikken selv. Man kan tale om forskellige skoler inden for den filosofiske matematik.

Platonisme eller matematisk realisme

Platonismen/realismen lærer at matematikken eksisterer i sin egen verden, parallelt med vores verden. Det er let at slutte sig til dette af at matematikken dukker op i så godt som alle andre videnskaber. Grundsynet er altså at matematikken er noget som allerede findes og som udforskes af matematikere – en matematiker opdager altså en vis matematisk sammenhæng på samme måde som en opdagelsesrejsende opdager et nyt kontinent. Ligheden med Platons idéverden i forhold til hvilken vores egen verden bare er en skyggeverden, er nærliggende. Aksiomer er inden for realismen analoge til den fysiske verdens naturlove.

Problemet med denne holdning er at man da må forklare hvilken slags verden matematikken eksisterer i, og hvordan den egentlig forholder sig til vores fysiske verden.

Kendte platonister/realister er Pythagoras, Kurt Gödel og Gottlob Frege

Formalisme

Formalismen lærer at matematikken i bund og grund handler om symbolmanipulationer, dvs. forskellige regler for at operere med symboler efter visse grundantagelser. De grundlæggende antagelser er aksiomer som gennem manipulationer efter visse regler omformes til sætninger. Man kan på den måde sammenligne matematikken med et spil, for eksempel skak, hvor brikkerne flyttes efter bestemte regler.

Formalismen stiller ikke samme krav om almengyldighed som platonismen: man kan forkaste aksiomer og afledningsreglerne, de er ikke "naturlove", og der findes ingen "perfekt" aksiomstruktur. Inden for formalismen findes altså ingen hård kobling mellem videnskaben og matematikken; det forholder sig blot sådan at strukturer inden for begge ligner hinanden; der findes ingen platonsk idéverden "bagved" den fysiske verden.

En stadig udfordring for formalismen er Kurt Gödels ufuldstændighedssætning.

Kendte formalister er David Hilbert og Haskell Curry.

Logicisme eller logistik

Logicismen/Logistiken lærer at matematik er det samme som logik og kan afledes af denne. Dette syn belv fremført af Bertrand Russell og Alfred North Whitehead i Principia Mathematica, hvis mål var endegyldigt at sammenføre den filosofiske logik og matematikken. Denne disciplin er nu i det væsentlige uddød. – Man må ikke forveksle logistik i denne betydning med det økonomisk-matematiske begreb logistik.

Konstruktivisme og intuitionisme

Konstruktivisme og intuitionisme inden for matematikken anser at kun matematiske begreber som eksplicit kan konstrueres tilhører og skal studeres inden for matematikken. Der råder imidlertid en vis uenighed om hvad "konstrueres" i denne sammenhæng egentlig indebærer. Konstruktivisme må imidlertid ikke forveksles med den påholdenhed som flertalet af matematikere udviser ved anvendelsen af udvalgsaksiomet. Udvalgsaksiomet er tværtimod temmelig harmløst for en konstruktiv matematiker – det er endog af og til bevisligt.

En kendt tilhænger er Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Kognitive teorier

Kognitive teorier ser matematikken som en intern funktion i den menneskelige bevidsthed, og en naturlig følge af vores perceptive formåen. Man kan eksempelvis vise at hjernen reagerer stærkt på geometriske genstande som rette linjer, mens uregelmæssige genstande ikke giver anledning til samme tydelige reaktionsmønster. Den ser altså matematikken som i det væsentlige underordnet biologien. Matematikken skulle altså være et elektrokemisk fænomen i den menneskelige hjerne.

Socialkonstruktivisme

Den socialkonstruktivistiske skole anser at matematikken skal betragtes som et socialt fænomen, en del af samfundet, og at dets indre logik føljer samme mønster som andre videnskabelige processer.

Noter

Spire Denne filosofiartikel er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.