Normalvektor

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En normalvektor er en vektor, der er normal i forhold til en anden vektor. I planen og det tredimensionale rum vil dette sige vinkelret på den anden vektor, men begrebet kan let generaliseres til flere dimensioner end tre.

I tre dimensioner kan man for to vektorer \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) og \vec{b}=(b_1, b_2, b_3) beregne en fælles normalvektor vha. deres krydsprodukt:

 \vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}
a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\
a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\
a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1
\end{pmatrix}

Denne normalvektoren har en længde, der er lig arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder. Se en nærmere forklaring på siden om krydsprodukt.

Planens ligning[redigér | redigér wikikode]

En normalvektor kan benyttes i forbindelse med bestemmelse af en ligning for en plan i tre dimensioner. En plan kan beskrives som en mængde af uendeligt mange punkter bredt ud på en uendelig stor flade, og man kan således beskrive planen som alle de punkter P hvor skalarproduktet mellem normalvektoren og vektor fra et andet punkt i planen P_0 til dette punkt P til er nul. Dette kommer af at at normalvektoren står vinkelret på planen, samt at skalarproduktet mellem to vinkelrette vektorer (en vinkel på 90 grader) giver nul, da \cos(90) = 0. Dette er altså en helt generel beskrivelse af samtlige punkter i en uendeligt stor flade, da der ikke er lagt nogle yderligere bånd på denne definition. Matematisk kan dette udtrykkes ved:

\{ P \mid \vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0 P} = 0\}

Hvis vi definerer P = (x,y,z) og P_0=(x_0,y_0,z_0), og og normalvektoren som \vec{n} = (a,b,c), bliver \overrightarrow{P_0P} = (x-x_0,y-y_0,z-z_0), og ud fra definitionen af skalarproduktet samt førnævnte definition på planen bliver planens ligning:

 \vec{n} \cdot \vec{P_0P} = a \cdot (x - x_0) + b \cdot (y - y_0) + c \cdot (z - z_0) = ax + by + cz +d = 0 ,

hvor d = - a \cdot x_0 - b \cdot y_0 - c \cdot z_0. Man gør altså brug af normalvektorens koordinater når man beskriver planens med en ligning.

Se også[redigér | redigér wikikode]