Prædikatlogik

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Eftersyn
Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Prædikatlogik eller Logik af første orden er en del af den matematiske logik. Mens man i sætningslogikken – udsagnslogik eller junktorlogik^[1] – blot kan sætte færdige sætninger sammen til mere komplicerede sætninger, eksempelvis danne $A\land B$ , hvis $A$ og $B$ er sætninger, for at udtrykke A og B, kan man i prædikatlogikken anvende prædikater. Eksempelvis kan $P$ repræsentere er ulige så at $P (x)$ betyder $x$ er ulige.

Man kan også danne relationer med flere variabler $P (x, y)$ , eksempelvis for at repræsentere relationen større end. I mængdeteori kan hele matematikken formuleres ved hjælp af prædikatlogik med en eneste relation $\in$ , som udtrykker at en mængde er element i en anden mængde. Samme logiske operationer som findes i sætningslogikken findes også i prædikatlogikken. Desuden findes al- og eksistens-kvantorer som udtrykker at noget gælder for alle respektive for mindst ét objekt

$\forall xP(x)$ indebærer at alle $x$ har egenskaben $P$ . ( $\forall$ er alkvantoren )

$\exists xP(x)$ indebærer at mindst ét $x$ har egenskaben $P$ . ( $\exists$ er eksistenskvantoren )

Antag at vi vil udtale os om at hvis noget har to specifikke egenskaber, så har det den anden af disse egenskaber. Vi kan symbolisere det på følgende måde: $\forall x((P(x) \land Q(x))\rightarrow Q(x))$ . Det læses: for ethvert x gælder, at hvis x har egenskaben P, og x har egenskaben Q, så har x egenskaben Q.

Et andet eksempel er $\forall x\forall y ((x=y)\rightarrow(P(x)\leftrightarrow P(y)))$ , som siger: for alle x gælder, at for alle y gælder, at hvis x er lig med y, så har x egenskaben P, hvis og kun hvis y har egenskaben P. Hvad dette betyder er egentlig at hvis x og y betegner samme genstand, så er egenskaberne for x og y de samme.