Binomialkoefficient

Inden for den matematiske gren kombinatorik angiver binomialkoefficienten ${n \choose k}$antallet af måder hvorpå man kan udtage k forskellige elementer taget fra en pulje med n forskellige elementer. Symbolet ${n \choose k}$udtales "n vælg k". Nogle af binomialkoefficienternes egenskaber kan illustreres med Pascals trekant.

Definition

Givet et reelt tal n og et ikke-negativt heltal k, er binomialkoefficienten defineret ved

${n \choose k}={\frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}.$

Hvis n er et naturligt tal gælder at

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.$

hvor n! betyder n fakultet. I Excel kan følgende benyttes :${n \choose k}$ = Kombin(n;x)

Egenskaber

Hvis n er et naturligt tal og n>k gælder ${n \choose k}={n \choose {n-k}}$, hvilket udtrykker en form for symmetri: der er lige så mange måder at udtage k elementer som der er at udtage alle undtagen k. Desuden er ${{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}={{n+1} \choose {k}}$, hvilket svarer til, at hvert felt i Pascals trekant er lig med summen af de to felter ovenfor.

Anvendelser

Binomialkoefficienterne forekommer i binomialformlen

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.$

Eksempler

1. Hvis man skal købe en pizza med tre forskellige slags "fyld", og der er 20 forskellige slags "fyld" at vælge imellem, kan man vælge ${20 \choose 3}={\frac {20!}{3!\,17!}}=1140$ forskellige pizzaer.
2. ${n \choose 0}={n \choose n}=1$, og ${n \choose 1}={n \choose {n-1}}=n$.

Se også

• Fakultet
• Binomialfordelingen
• Pascals trekant