Cauchy-følgen {
} har en delfølge {
} som konvergerer mod x, ergo konvergerer {
} også mod x.
Bevis
Lad delfølgen {
} konvergere mod x. Følgen {
} som{
} er delfølge af, konvergerer mod x, derfor er det givet at uanset hvilket
> 0, findes et N
således, at
<
n
N.
På ovenstående skitse ses en Cauchy-følge med en delfølge (de sorte prikker), som konvergerer mod x. På skitsen står
/2 i stedet for
, da dette får betydning senere i beviset. Vi kalder det stykke indenfor
for pølsen.
Eftersom {
} konvergerer mod x, så findes der et K, således at
<
/2
k
K.
Dette er stedet, hvor delfølgen kommer indenfor pølsen.
Eftersom {
} er en Cauchy-følge, findes der desuden et
således at
<
/2
n,m
M.
Dette er stedet, hvor afstanden mellem de enkelte punkter er mindre end
/2. Følgende er en skitse af dette.
Det største af K og M kaldes N. Altså når de begge er opfyldt.
Idet n
N,og
<
. Vi skal vælge et k, der er så stort, at
N.
Fra ovenstående fås følgende
= |
|
Ifølge trekantsuligheden, som siger, at |c+d|
|c|+|d|, er dette
+
<
/2 +
/2 =
, idet |
| <
/2, hvilket var kravet til k og |
| <
/2, hvilket var kravet til m.
Det ses, at
er mindre end
/2, netop fordi k
K og at
er mindre end
/2, da m
M.
Herudfra kan konkluderes, at følgen konvergerer mod x
dvs. |
| <