Bruger:KatrineDorte
En delfølge er en række tilfældige udvalgte elementer, som indgår i en følge af reelle tal. Vi ser på følgen xn = x1 ,x2 ,x3 , x4 ,x5 ,x6 , x7 ,x8...
Vi udvælger nogle tilfældige elemneter i xn følgen, og får herved en ny følge yk: yk = x2 , x3 , x5 , x8...
De k'ne led som vi udvalgte i xn følgen, kalder vi for nk-led, da de nu indgår i begge følger. Ud fra dette kan vi konkludere at yk = xnk, som er en mere matematisk måde at beskrive følgerne på.
Sætning 4.4.1. Altså: yk er en delfølge af xn bestående af reelle tal. xnk er leddene i følgerne. Fil:Graf wiki.jpg
På grafen ses følgen xn som er de sorte prikker. Den nærmer sig den øvre grænseværdi, og når følgen først er kommet indenfor epsilon, (det røde felt), bliver den derinde. Tilsvarende sker med følgen yk, som er de udvalgte blå prikker på billedet. Den første prik fra følgen xn, som kommer ind i det røde område kaldes n, og tilsvarende k ved følgen yk. De to følger opfører sig altså ens, hvilket er meget indlysende da yk jo er en delfølge af xn, og de begge to konvergerer mod den øvre grænseværdi.
Sætning 4.4.3 Enhver følge har en monoton delfølge Fil:Graf spids aftagende.jpt Fil:Graf spids stigende.jpg
Som det ses på disse to grafer, er den ene følge voksende og den anden aftagende. Dette afhænger af hvor spidsen er. Spidsen er der hvor følgen når sit maksimum, altså når følgen ikke højere end dette punkt, som vi har markeret med rødt. Hvis spidsen er i starten af følgen, vil følgen derved være aftagende. Omvendt hvis spidsen befinder sig i enden af følgen, er den voksende.
Sætning 4.4.4 Hvis man kombinerer sætning 4.4.3. med 4.3.9. får vi følgende nye sætning: Enhver begrænset følge har en konvergeret delfølge
Den monotone delfølge som gennemgås ovenfor, må ifølge teorien fra sætning 4.3.9 være konvergent.