For to konvergente følger hvor det gælder at
= A,
A og
= B,
B vil vi bevise at det gælder at:
(I)
= A+B, ![{\displaystyle \left\{a_{n}+b_{n}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f1039b8a6fc3c05e1b8e5a92b3fa411a16eb69)
A+B
(II)
= A*B, ![{\displaystyle \left\{a_{n}*b_{n}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758316997319bf3b9f73c9c09fdd758e1e1e870c)
A*B
For ethvert
>0 findes et tal N
, så |
- (A+B)| <
ifølge trekantsuligheden, |c+d|
|c|+|d|, giver det os:
|
- (A+B)|
|
vi ved at
A og derfor må der findes et
så:
for alle n
da vi selv fastsætter
og dermed uden problemer kan fastsætte det til
. og dermed må der også findes et
for b:
for alle n
vælger vi nu det største tal af
og
vil begge følger ligge inden for
, og dermed har vi bevist at følgerne multipliceret vil ligge indenfor
og dermed at
= A+B
Når vi har et
>0, så må der findes et N
sådan at |
Igen benyttes trekantsuligheden og får fra (I):
Som i (I) vil vi vise at hvert af leddene
og |B|*|
er mindre end
når vi gør n stort nok.
Vi starter med det simpleste led, |B|*|
. Hvis |B| = 0 er der intet at vise, så vi definere at |B|
0. Da det gælder at
= A må vi dermed kunne finde et
sådan at
når
og dermed også at:
|B|*|
<
Det andet led,
, kan behandles som det første, dog er det lidt mere kompliceret da
ikke er konstant. Vi ved imidlertid da
= A at der må derfor findes et
så
når n
. Dette bruger vi sammen med
= B og ved at der må være
så
når
. Lader vi n >
får vi følgende udtryk:
Reduceret bliver det:
Sammenfatter vi beviset giver det os: