Konvergente følger[redigér | rediger kildetekst]

Vi ser på en følge: $0,{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}}...{\frac {n-1}{n}}$

Vi kan se, at denne nærmer sig 1, fordi tælleren altid vil være større end nævneren. Vi kan samtidig se, at jo større n bliver, jo tættere kommer vi på 1. Dette kalder vi at følgen konvergerer mod 1, som kaldes grænseværdien a.

I en konvergent følge kan man afsætte den vilkårlige afstand $\epsilon$ på y-aksen, som er lige stor over og under det tal følgen konvergerer mod. For at følgen skal være konvergent, må dens værdier på et givent tidspunkt, N, efterfølgende ikke komme udenfor $\epsilon$ , og afstanden mellem et tal i følgen og det tal følgen konvergerer mod, vil til sidst gå mod 0.

Definition:

Følgen ${\begin{Bmatrix}a_{n}\end{Bmatrix}}$ konvergerer mod tallet a, ${\begin{Bmatrix}a_{n}\end{Bmatrix}}$ $\rightarrow a$

når der for alle $\epsilon$ > 0, findes et tal N $\in$ $\mathbb {N}$

således at ${\begin{vmatrix}a_{n}-a\end{vmatrix}}$ < $\epsilon$ for alle n $\geq$ N

Eksempel Vi så på følgen $0,{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}}...{\frac {n-1}{n}}$ og postod at den konvergerede mod grænseværdien 1

Nu kan vi undersøge om dette er rigtigt:

$a_{n}$ = (n-1)/n

${\begin{vmatrix}a_{n}-a\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {n-1}{n}}-1\end{vmatrix}}$ = ${\begin{vmatrix}(1-{\frac {1}{n}})-1\end{vmatrix}}$ =

 =  ${\begin{vmatrix}-{\frac {1}{n}}\end{vmatrix}}$  = ${\frac {1}{n}}$

Vi skal så vise at uanset hvilket $\epsilon$ > 0, så kan vi finde et N $\in$ $\mathbb {N}$ således at ${\begin{vmatrix}a_{n}-a\end{vmatrix}}=1/n<\epsilon$ når n $ge$ N. Vi bestemmer at n er et naturligt tal således at 1/N< $\epsilon$ :

$\lim _{n\rightarrow }f(z)=f(z_{0})$