Linjens ligning

Tre linjer — den røde og den blå linje har samme hældning, mens røde og den grønne rammer y-aksen samme sted.

Linjens ligning er en matematisk beskrivelse af en ret linje, som er en uendelig lang linje med konstant hældning. Forskriften for en vilkårlig ret linje består af to konstanter, og én variabel. Disse er normalt angivet ved henholdsvis bogstaverne a og b, samt variablen x.

Linjens ligning er givet ved

$y=a\cdot x+b$

hvor,

• a er et udtryk for linjens hældning
• b indikerer skæringen med y-aksen

Alle punkter med koordinater $(x,y)$, som ligger på linjen, passer i linjens ligning, og ingen punkter som ligger udenfor linjen passer i linjens ligning.

Bestemmelse af forskriften for linjens ligning

Ud fra et punkt og en hældning

En ret linje som skærer punktet på formen $(x_{0},y_{0})$, og som har hældningen $a$, har ligningen:

$y-y_{0}=a(x-x_{0})\,$

Denne kaldes i daglig tale ofte også for formlen for linjens ligning.

Eksempel

Givet en ret linje med hældningen $a=2$, og som skærer punktet $(x_{0},y_{0})=(0,1)$, kan ligningen for denne linje bestemmes. Indsættes disse informationer i ovenstående ligning er linjens ligning givet ved:

$y-1=2(x-0)\Leftrightarrow y=2x+1\,$

Bemærk at denne ligning er nøjagtigt den samme som er vist i illustrationen til højre.

Ud fra to koordinater

Uddybende artikel: Hældningskoefficient

Givet to koordinater $(x_{1},y_{1})$ og $(x_{2},y_{2})$, kan forskriften, for den lineære funktion der går igennem disse to punkter, bestemmes. Først findes hældningskoefficienten $a$, ud fra formlen for dette:

$a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Derefter findes b, skæringen med y-aksen, ved hjælp af følgende formel:

$b=y_{1}-a\cdot x_{1}$

Eksempel

Man ved at en ret linje går igennem de to punkter (1,4) og (4,13). For at finde hældningstallet for denne linje, indsætter man værdierne i formlen fra før:

$a={\frac {13-4}{4-1}}={\frac {9}{3}}=3$

Ligeledes sættes tallene ind i formlen for at finde skæringen med y-aksen:

$b=4-3\cdot 1=1$

Forskriften for den rette linje er dermed:

$y=3\cdot x+1$

Se også

Cirklens ligning

Wikimedia Commons har medier relateret til: Linjens ligning