Metrik (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se Metrik. (Se også artikler, som begynder med Metrik)

En metrik er i matematikken en generaliseret måde at definere afstande på. Metrikken defineres som en funktion der tager to elementer fra en mængde S, og giver "afstanden" mellem dem som et reelt tal. Et par (S,d) bestående af en mængde S og en metrik dS kaldes et metrisk rum.

Formel definition[redigér | redigér wikikode]

En metrik er en funktion , opfylder kravene

  1. (symmetri)
  2. (trekantsuligheden)

- hvor a, b og c er elementer i S. Det første krav siger, at afstanden mellem forskellige elementer er positiv, mens afstanden mellem et element og sig selv er nul. Den anden siger, at afstanden mellem to elementer er entydig. Den sidste siger, at hvis man går fra a til c via b, så har man ikke gået kortere end hvis man gik direkte fra a til c.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

Lad S være mængden af punkter i det reelle plan, og d den sædvanlige afstand. Så er afstanden fra punktet a=(ax,ay) til punktet b=(bx,by)

som kaldes den euklidiske metrik (eller den form, den tager i to dimensioner). Dette er imidlertid ikke den eneste mulige metrik. F.eks. er

en metrik, da den opfylder kriterierne ovenfor.