Fibonacci-tal: Forskelle mellem versioner

← Gå til forrige forskel Gå til næste forskel →

Content deleted Content added

Inline

Versionen fra 14. jan. 2012, 09:05

Siderne af firkanterne giver Fibonacci-tallene.

Fibonacci-tal fik deres navn i 1800-tallet, af Edouard Lucas, og er opkaldt efter den italienske matematiker Leonardo Fibonacci.

Fibonacci-tallene er betegnelsen for de tal som findes i følgen

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,...

Fra og med det tredje fremkommer tallene som summen af de to foregående tal i følgen: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 osv. Når $F_{n}$ betegner det $n$ 'te Fibonacci-tal, er følgen altså fastlagt ved følgende rekursive definition: $F_{1}=1$ , $F_{2}=1$ og $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ for $n\geq 3$ .

Talfølgen blev første gang beskrevet i 1202 af den italienske matematiker Fibonacci, men har nok været kendt længe før. Tallene kan relateres til en simpel model for populationers udvikling: Et kaninpar avler hvert år to unger, en han og en hun. Afkommet formerer sig også, men først efter to drægtighedsperioder. Begynder man med to unger, haves 1 par i år 1, og i år 2 er der stadig kun 1 par. I år 3 får det første par unger, og der er nu 2 par. I år 4 får det første par igen unger, og der er nu 3 par. I år 5 får det første par og deres unger unger, og der er nu 5 par. Hvert år øges antallet af kaninpar med det antal par som er fødedygtige, altså de par som allerede fandtes for to år siden. Antallet af par i et givet år, er derfor lig med summen af antallet af par i de to foregående år. Modellen tager ikke hensyn til aldring og fødeknaphed, men den kan faktisk bruges til at simulere udviklingen af unge populationer af encellede organismer der formerer sig ved celledeling.

Fibonacci-tallene har følgende mærkelige egenskab: Deles et Fibonacci-tal med det foregående i følgen, fremkommer et forhold som nærmer sig det gyldne snit når man bevæger sig frem i følgen. Med andre ord konvergerer ${\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}$ mod ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\simeq 1,618...$ når $n\rightarrow \infty$ . Fibonacci-tallene kan endvidere genfindes i visse naturlige spiralmønstre, f.eks. når man tæller frø i solsikkeblomster, skæl i kogler eller buketter i blomkålshoveder.

Der er udgivet tabeller over Fibonacci-tal. Vil man benytte definitionen i det foregående til at beregne Fibonacci-tal, støder man ind i den vanskelighed at rekursionsformlen forudsætter kendskab til alle de foregående tal i følgen. Det er overkommeligt så længe $n$ er lille, men tidskrævende hvis man f.eks. ønsker at beregne $F_{1000}$ . For store værdier af $n$ kan man i stedet anvende følgende ikke-rekursive formel for det n'te Fibonacci-tal:

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right)

Eksterne henvisninger

Søsterprojekter med yderligere information:

Engelsk artikel om Leonardo
Fibonacci-talrækken har ID-nummer A000045 i The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

@@ Linje 3: / Linje 3: @@
 Fibonacci-tallene er betegnelsen for de tal som findes i følgen
-:[[1 (tal)|1]], [[1 (tal)|1]], [[2 (tal)|2]], [[3 (tal)|3]], [[5 (tal)|5]], [[8 (tal)|8]], [[13 (tal)|13]], [[21 (tal)|21]], [[34 (tal)|34]], [[55 (tal)|55]], [[89 (tal)|89]], [[144 (tal)|144]], [[233 (tal)|233]], 377,...
+:[[1 (tal)|1]], [[1 (tal)|1]], [[2 (tal)|2]], [[3 (tal)|3]], [[5 (tal)|5]], [[8 (tal)|8]], [[13 (tal)|13]], [[21 (tal)|21]], [[34 (tal)|34]], [[55 (tal)|55]], [[89 (tal)|89]], [[144 (tal)|144]], [[233 (tal)|233]], [[377 (tal)|377]],...
 Fra og med det tredje fremkommer tallene som summen af de to foregående tal i følgen: 2 = 1 + 1,
 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 osv. Når <math>F_n</math> betegner det <math>n</math>'te Fibonacci-tal, er følgen altså fastlagt ved følgende [[rekursiv]]e definition: <math>F_1 = 1</math>, <math>F_2 = 1</math> og <math>F_n = F_{n-1} + F_{n-2}</math> for <math>n \geq 3 </math>.