Uegentligt integral

Et uegentligt integral er indenfor matematikken en bestemt type af integraler, som kort sagt beskæftiger sig med uendeligheder.

Der findes to forskellige typer af uegentlige integraler:

• Ubegrænset mængde (intervalet er uendeligt)
• Ubegrænset integrand (funktionen der integreres over antager uendeligt store værdier)

Definition

Den første type uegentlige integral skrives

$\int _{a}^{\infty }f(x)dx,$

og siges at være konvergent, hvis funktionen $F$ defineret ved

$F(b)=\int _{a}^{b}f(x)dx$

har en endelig grænseværdi for $b\to \infty$. Er det tilfældet tilskrives integralet grænseværdiens værdi, hvilket skrives

$\int _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{b\to \infty }F(b)=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)dx.$

Hvis $F(b)$ omvendt er divergent for $b\to \infty$ tilskrives integralet ingen værdi.

Den anden type uegentlige integral fremkommer i situationen, hvor en funktion $f:]a,b]\to \mathbb {R}$ betragtes. I analogi med det foregående skrives integralet

$\int _{a}^{b}f(x)dx,$

og det siges at være konvergent, hvis funktionen defineret ved

$F(c)=\int _{c}^{b}f(x)dx$

har en grænseværdi for $c\to a^{+}$ (hvor der her med $c\to a^{+}$ menes "$c$ gående $a$ fra højre".) Integralet tilskrives som før grænseværdiens værdi og skrives

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{c\to a^{+}}F(c)=\lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)dx,$

og som før siges integralet at være divergent, hvis $F(c)$ divergerer for $c\to a^{+}$.

Eksempler

Et eksempel på den første type med ubegrænset mængde kunne være nedenstående.

$\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}{\textrm {d}}x={{\sqrt {\pi }} \over 2}$

Et eksempel på det andet tilfælde, altså ubegrænset integrand, kunne være nedenstående hvor der skal lægges mærke til at der integreres fra nul hvor funktionen ikke er defineret.

$\int _{0}^{1}{1 \over x^{2}}{\textrm {d}}x$

Lad os betragte et eksempel, der viser den egentlige fremgangsmåde, nemlig integralet

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{3}}}dx.$

Benyttes definitionen, fås at

$\int _{1}^{\infty }{1 \over x^{3}}{\textrm {d}}x=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {1}{x^{3}}}{\textrm {d}}x=\lim _{t\to \infty }\left[{\frac {-1}{2x^{2}}}\right]_{1}^{t}=\lim _{t\to \infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2t^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}.$

Integralet vil med de angivne grænser altså være konvergent med værdien ½.