Apérys konstant

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Acap.svg Indforstået sprog
Denne artikel er skrevet i et meget indforstået sprog. Du kan gøre artiklen bedre ved at omskrive den i et sprog, der er lettere at forstå for folk uden forudgående viden om emnet.

I matematikken er Apérys konstant et mærkværdigt tal, der optræder i flere situationer. Det er defineret som tallet ζ(3),

\zeta(3)=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \ldots

hvor ζ er Riemanns zetafunktion. Det har værdien

\zeta(3)=1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\;
61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots

Apérys sætning[redigér | redigér wikikode]

Værdien er opkaldt efter Roger Apéry (1916 – 1994), som i 1977 beviste, at tallet var irrationalt. Dette resultat er kendt som Apérys sætning. Det oprindelige bevis er komplekst og svært at forstå, og kortere beviser er fundet siden hen ved brug af Legendrepolynomier.

Resultatet er forblevet forholdsvis isoleret: Der vides kun lidt om ζ(n) for andre ulige tal n.

Rækkerepræsentation[redigér | redigér wikikode]

I 1772 gav Leonhard Euler rækkerepræsentationen

\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7}
\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right],

som siden er blevet genopdaget adskillige gange, bl.a. af Ramaswami i 1934.

Simon Plouffe gav adskillige rækker, der er betydningsfulde, idet de kan bruges til at give flere tals præcision pr. iteration. Heriblandt er de følgende:

\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}

og

\zeta(3)= 14 
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)}
-\frac{11}{2}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}
-\frac{7}{2} 
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}

Man har desuden fundet mange andre rækkerepræsentationer; herunder:

\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n!)^2}{n^3 (2n)!}
\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}
\frac{56n^2-32n+5}{(2n-1)^2} \frac{((n-1)!)^3}{(3n)!}
\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{t=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^t\,2^{-5 + 12\,t}\,t\,
    \left( -3 + 9\,t + 148\,t^2 - 432\,t^3 - 2688\,t^4 + 7168\,t^5 \right) \,
    {t!}^3\,{\left( -1 + 2\,t \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,t \right) }^3\,
    \left( 3\,t \right) !\,{\left( 1 + 4\,t \right) !}^3}
\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{205n^2 + 250n + 77}{64} \frac{(n!)^{10}}{((2n+1)!)^5}

og

\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{P(n)}{24}
\frac{((2n+1)!(2n)!n!)^3}{(3n+2)!((4n+3)!)^3}

hvor

P(n) = 126392n^5 + 412708n^4 + 531578n^3 + 336367n^2 + 104000n + 12463.\,

Nogle af disse er brugt til at beregne Apérys konstant med flere millioner decimaler.

Andre formler[redigér | redigér wikikode]

Apérys konstant kan udtrykkes ved hjælp af en andetordens polygammafunktion som

\zeta(3) = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1).

Referencer[redigér | redigér wikikode]