Irrationale tal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Irrationale tal (kaldes også Irrationelle tal) er i matematikken alle tal der er reelle, men ikke rationale.

De klassiske eksempler er tallet π = 3,1415926... og kvadratroden af 2 = .

Et irrationalt tal kan være algebraisk eller transcendent. Et transcendent tal kan ikke være rod i et polynomium med rationale koefficienter – de øvrige irrationale tal kaldes algebraiske.

Hvis et tals decimaler er periodiske vil tallet være rationelt. Men at vise et tal er irrationelt er straks værre.

[redigér] Irrationaliteten af kvadratrod 2

Her følger et bevis på at kvadratrod 2 er et irrationalt tal.

Irrationaliteten bevises ved et modstridsbevis. Det antages, at der findes et rationalt tal r, så r² = 2; dvs. at der findes tal m og så r = m / n (vi kan uden tab af almengyldighed antage, at r > 0, da ( − r)² = r²). Herom kan antages, at brøken m / n er uforkortelig. Det fås altså at: , hvilket vil sige at m² = 2n². Det vil sige at m² er lige og det følger at m også er lige. Det betyder, at der findes et helt tal m' så m = 2m'. Indsat i ovenstående ligning fås at (2m')² = 2n², altså 4m'² = 2n² og forkortet 2m'² = n². På samme måde som før ses, at n også må være lige. Da både m og n er lige, er brøken m / n nødvendigvis forkortelig med 2, hvilket strider mod antagelsen. QED.

Ogilvie Joseph Louis LaGrange har udtrykt et bevis for dette i en enkel sætning: "It () cannot be found in fractions, for if you take a fraction reduced to its lowest terms, the square of that fraction will again be a fraction reduced to its lowest terms and consequently cannot be equal to the whole number 2."

[redigér] Irrationaliteten af kvadratrod 5

Ligeledes kan det vises, at kvadratroden af 5 er irrationelt. Antag igen at det er et rationelt tal, så det kan skrives som en uforkortelig brøk: . Dette kan omskrives til: . Brøken var antaget uforkortelig, det vil sige, at p og q's primfaktoropløsning ikke indeholder nogen fælles primtal. p² og q² vil derfor have et lige antal primfaktorer, da hvert primtal fra før vil forekomme to gange. Og her opstår modstriden: Ligningen siger, at p² har én primfaktor (5) mere end q², hvilket ikke kan passe, da de begge har et lige antal primfaktorer (jf: Aritmetikkens fundamentalsætning). Hermed er det vist, at er irrationelt. QED.

s·d·r Talsystemer i matematik Elementære talmængder Naturlige tal = { 1,2,3,...} Heltal = {...,-2,-1,0,1,2,...} Rationale tal = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...} Reelle tal = Komplekse tal = Andre elementære talmængder Primtal = { 2,3,5,7,11,.. } Irrationale tal Konstruerbare tal   Algebraiske tal   Transcendente tal Beregnelige tal   Imaginære tal   Split-komplekse tal R1,1 Komplekse udvidelser Bikomplekse tal   Hyperkomplekse tal   Kvaternioner = { a+bi+cj+dk | a,b,c,d ∈ R } Oktonioner   Sedenioner   Superreelle tal   Hyperreelle tal   Surreelle tal   Taltyper og særlige tal Nominelle tal   Ordinaltal {} størrelse, position {n} Kardinaltal {} P-adiske tal   Heltalsfølger   Matematisk konstanter   Store tal   Uendelig Konstantliste pi - i - e - φ - γ

Stub Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.