Kvadratkomplettering er en teknik i algebra, hvis grundlæggende formål er at reducere en variabel med et polynomium af anden grad i en ligning eller i et matematisk udtryk, så der fremkommer et lineært polynomisk udtryk i anden potens. Derved gøres det i mange sammenhænge lettere at løse ligningen.
Oversigt
Ved kvadratkomplettering transformeres et andengradspolynomiom altså til et kvaderet lineært polynomiun og en konstant. Det betyder, at et polynomium af formen
ændres til et af formen
Det bemærkes, at koefficienterne a, b, c, d og e ovenfor selv kan være matematiske udtryk og indeholde andre variable end x.
Den vigtigste anvendelse af kvadratkomplettering er at finde løsningerne til andengradsligningen.
Almindelig formel
For
har vi
Eller
Eksempler
Eksempel 1
Et meget simpelt eksempel er:
Eksempel 2
Et andet simpelt eksempel er at finde rødderne af:
* kvadratkompletteringen
Eksempel 3
Betragt problemer med at finde følgende integral:
- .
Det kan gøres ved hjælp af kvadratkomplettering af nævneren. Nævneren er
- .
Når kvadratet kompletteres ved at lægge (10/2)² = 25 til x² – 10x fås det perfekte kvadrat x² – 10x + 25 = (x – 5)². Derfor fås:
- .
Hvorfor integralet er
- .
Eksempel 4
Som en generalisering af eksempel 2, kan rødderne af:
- ,
findes ved at omforme ligningen, så "x" og "x i anden" ikke længere optræder. For at opnå dette, kompletteres kvadratet: tag halvdelen af koefficienten til "x", kvadrer den, og læg den til på begge sider af lighedstegnet, således:
* kvadratkomplettering
Eksempel 4 kan generaliseres yderligere til at finde løsningerne til den generelle andengradsligning
idet der først foretages kvadratkomplettering således:
- .
hvoraf
Komplekse versioner af kvadratkomplettering
Betragt udtrykket
hvor og er komplekse tal, og er de komplexe conjugationer af henholdsvis og , og er et reelt tal. Dette kan udtrykkes på denne måde:
som klart er en virkelig mængde. Det er fordi
Ligeledes kan udtrykket
hvor , , , og er reelle tal og samt , udtrykkes ved kvadratet af den absolutte værdi af et komplekst tal. Defineres
så
hvorfor
Se også