Sinus (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se Sinus.

Sinus er en trigonometrisk funktion inden for matematikken, som beskriver bestemte forhold mellem siderne i en retvinklet trekant, eller y-koordinaten til et punkt på enhedscirklen. I matematiske formler forkortes sinus til sin, og tager man sinus til en vinkel θ, skrives det matematisk som: sin θ. Sinus-funktionen har mange træk tilfælles med en anden trigonometrisk funktion, cosinus, som beskriver x-koordinaten til føromtalte punkt på enhedscirklen, og disse to funktioner danner grundlag for en tredje trigonometrisk funktion; tangens.

Grafen for sinus (og cosinus) udviser et karakteristisk bølgemønster, som kan bruges som model af en lang række matematiske og fysiske fænomener.

Sinusfunktionen skrives f.eks. som:

  • f(t) = A * \sin (2*\pi*f*t + \theta)

hvor:

  • sin er sinusfunktionen beregnet af radianer
  • t er tiden i sekunder
  • A er amplitude
  • f er frekvensen i Hertz
  • \theta er fasen i radianer

Hvis sinusfunktionen skal beregnes af grader, skal formlens 2*\pi erstattes med 360 – og fasen skal i stedet isættes grader.

Sinus og den retvinklede trekant[redigér | redigér wikikode]

Sider og vinkler i en retvinklet trekant

For en retvinklet trekant gælder, at sinus til en af de to vinkler der ikke er rette er lig med forholdet mellem den modstående katete og trekantens hypotenuse. For trekanten på illustrationen til højre gælder, at sinus til den vinkel θ der er markeret med gul farve, er lig med forholdet mellem længderne af siderne a og c, dvs.:
\sin \theta = \frac{a}{c}

Selv om denne definition bygger på en retvinklet trekant, bruges sinus-funktionen i beregninger over alle mulige trekanter i planen, med eller uden rette vinkler – bl.a. i den såkaldte sinusrelation.

Sinus i enhedscirklen[redigér | redigér wikikode]

Sinus giver y-koordinaten til et punkt på enhedscirklen

Definitionen med den retvinklede trekant kan redegøre for sinus til vinkler mellem 0 og 90 grader, men ved hjælp af enhedscirklen kan man udvide definitionsmængden til sinus til alle reelle tal.
På Illustrationen til højre ses enhedscirklen, hvori er indtegnet nogle centervinkler hvis ene ben falder sammen med x-aksen (i pilens retning). Det andet ben skærer cirklens periferi i et punkt, hvis y-koordinat (markeret med små kvadrater), eller afstand til x-aksen, er lig med sinus til den pågældende centervinkel.

Centervinkler måles med den positive side af x-aksen som »nulpunkt«. Går man »mod uret« når man måler vinklen, regnes denne vinkel positivt, mens vinklen er negativ hvis man »måler medurs«.

Egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Graf over sinus-funktionen

Kurven til højre viser hvordan sinus til en vinkel θ varierer for vinkler mellem ±360° (nederste vandrette skala). Som nævnt er sinus defineret for ethvert reelt tal θ – ud over det viste interval fortsætter kurven i det samme bølge-mønster uendeligt langt til begge sider.
Man kan se at kurven aldrig kommer ud over intervallet fra -1 til 1 på y-aksen: Den såkaldte værdimængde til sinus er netop alle reelle tal fra og med -1 til og med 1.

Sinusfunktionen (for vinkler givet i buemål, mere herom senere) er kontinuert og differentiabel: Stamfunktionen, eller det ubestemte integral, til sin v er -cos v, og den afledede funktion af sin v er cos v.

Vinkelmål[redigér | redigér wikikode]

Det tal man i praktiske beregninger tager sinus af, repræsenterer så godt som altid en vinkel, eventuelt en såkaldt fasevinkel – af den grund skal man, når man beregner sinus, være sikker på hvilken måleenhed vinklen er opgivet i. I teoretisk arbejde, f.eks. matematiske og fysiske beregninger, bruges den lidt specielle enhed radian; vinklens buemål eller »naturlige vinkelmål«, med mindre andet udtrykkeligt er angivet. I toppen af grafen ovenfor er indsat en skala der angiver vinklen udtrykt i radianer.
I andre, mere praktisk orienterede sammenhænge, findes en række forskellige måleenheder – kategorien vinkelenheder giver en oversigt over artikler om relevante måleenheder.
Matematiske lommeregnere har almindeligvis en tast og nogle små bogstaver i displayet til at vælge mellem »D« for  »almindelige« grader, »G« for såkaldte nygrader og »R« for førnævnte radianer: Man skal have valgt det rigtige mål inden man trykker på en trigonometrisk funktion.

Sinus til visse vinkler[redigér | redigér wikikode]

Vinkel a sin a
Grader Radianer Nygrader Eksakt Decimalbrøk
0 0g 0 0
180° \pi 200g
15° \frac{\pi}{12} 16 2/3g \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 0,258819045102521
165° \frac{11 \cdot \pi}{12} 183 1/3g
30° \frac{\pi}{6} 33 1/3g \frac{1}{2} 0,5
150° \frac{5 \cdot \pi}{6} 166 2/3g
45° \frac{\pi}{4} 50g \sqrt{\frac{1}{2}} 0,707106781186548
135° \frac{3 \cdot \pi}{4} 150g
60° \frac{\pi}{3} 66 2/3g \frac{\sqrt{3}}{2} 0,866025403784439
120° \frac{2 \cdot \pi}{3} 133 1/3g
75° \frac{5 \cdot \pi}{12} 83 1/3g \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 0,965925826289068
105° \frac{7 \cdot \pi}{12} 116 2/3g
90° \frac{\pi}{2} 100g 1 1

For nogle få, »specielle« vinkler kan man ad geometrisk vej finde frem til eksakte værdier for sinus til disse vinkler. Tabellen til højre giver et overblik.

Ved at studere illustrationen med enhedscirklen kan man slutte sig til, at hvis man måler en vis vinkel enten med- eller modurs (hhv. en negativ og en positiv vinkel) ud fra x-aksen, får man et skæringspunkt der ligger hhv. under eller over x aksen. Men afstanden fra hver disse to punkter ind til x-aksen er den samme.
Matematisk gælder, at:
sin x = -sin -x
For tabellen til højre betyder dette, at hvis sinus til f.eks. 30° er 0,5, så er sinus til -30° lig med -0,5.

Endvidere gælder, at eftersom sinus er periodisk, er sin x = sin (x + n·360°) hhv. sin x = sin (x + n·2·π) hhv. sin x = sin (x + n·400g), hvor n er et helt tal.

Invers sinus[redigér | redigér wikikode]

Hvis man »indskrænker« definitionsmængden for sinus til intervallet fra -90° til 90° (-100 til 100 nygrader eller -π/2 til π/2 radianer), får man en såkaldt monoton eller »én-til-én-tydig« funktion, og til sådanne funktioner kan opstilles en såkaldt invers funktion, som populært sagt »regner baglæns« fra sinus til en vinkel og tilbage til vinklen. For sinus' vedkommende kaldes denne inverse funktion for invers sinus.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig.