Primtalstvillinger

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Primtalstvillinger er to primtal, der kun har ét andet tal imellem sig. Eksempler på primtalstvillinger er:

Det er et uafklaret spørgsmål om der findes uendelig mange primtalstvillinger, men den almindelige opfattelse er, at der er uendelig mange.

Den norske matematiker Viggo Brun forsøgte at bevise, at antallet af primtalstvillinger var uendeligt ved at bevise at den reciprokke sum af alle primtalstvillinger var uendelig. Imidlertid lykkedes det ham i 1919 at bevise, at summen var endelig, og dette kan hverken bruges som argument for eller imod at antallet af primtaltvillinger er uendeligt. F.eks. er den reciprokke sum af alle kvadrattal også endelig, selvom der naturligvis findes uendelig mange kvadrattal.

Den reciprokke sum af alle primtalstvillinger kaldes Bruns konstant og er beregnet til B2 ≈ 1,902160583104.

Det, at den reciprokke sum af alle primtalstvillinger er endelig, viser, at der findes væsentligt færre primtalstvillinger end primtal, da den reciprokke sum af alle primtal er uendelig.

For alle primtalstvillinger større end 7 gælder at tallet mellem primtallene er deleligt med 6.

På tilsvarende vis kan man definere primtalsfirlinger som fire primtal, der ligger så tæt som muligt. Bortset fra små tal, dvs. mindre end 9, vil primtalsfirlinger være på formen p, p+2, p+6, p+8. Ligesom p+4 altid vil være deleligt med 15.

Eksempler på primtalsfirlinger er:

Det er ukendt, om der findes uendelig mange primtalsfirlinger. Den reciprokke sum for primtalsfirlinger er endelig (det følger af, at den reciprokke sum at primtalstvillinger er endelig) og kaldes Bruns konstant for primtalsfirlinger : B4 = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005.

Bemærk, at selvom antallet af primtalstvillinger er uendeligt, er dette ikke nødvendigvis et bevis for, at der er uendeligt mange primtalsfirlinger.