Abels sætning

I reel analyse relaterer Abels sætning for potensrækker en potensrækkes grænseværdi med summen af dens koefficienter. Sætningen er opkaldt efter den norske matematiker Niels Henrik Abel.

Sætning

Lad a = {a_i: i ≥ 0} være en følge af reelle eller komplekse tal og lad

$G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}\,$

være potensrækken med koefficienter a. Antag at rækken $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ konvergerer. Da gælder, at

$\lim _{z\to 1^{-}}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}.\,\ \ (*)$

I det specielle tilfælde, hvor alle koefficienter a_i er reelle og a_i ≥ 0 for alle i gælder ovenstående formel $(*)$ også, når rækken $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ ikke konvergerer. Det vil sige, at begge sider er lig $+\infty .$

Bemærkning

I en mere generel version af denne sætning gælder, at hvis r er et reelt tal forskelligt fra nul, for hvilket rækken $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}r^{i}$ konvergerer, er

$\lim _{z\to r}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}r^{i},\,\ \$

forudsat at grænseværdien forstås som grænseværdien fra venstre, hvis r er positiv og fra højre, hvis r er negativ.

Eksempler

Lad $f(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\log(1+x).$ Da $\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$ konvergerer (af konvergenskriteriet for alternerende rækker,) fås at

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\log 2=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.$

Lad $g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x).$ Igen fås af konvergenskriteriet for alternerende rækker, at $\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$ konvergerer, og at

$\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.$

Anvendelse

Abels sætning giver mulighed for at finde grænseværdien af en potensrække, når dens argument (dvs. z) nærmer sig 1 fra venstre, selv i tilfælde, hvor rækkens konvergensradius, R, er lig 1, hvor det så under normale omstændigheder ikke er muligt at bestemme, hvorvidt grænsen er endelig eller ej.

G_a(z) kaldes den genererende funktion for en følge a. Abels sætning er ofte anvendelig i behandlingen af genererende funktioner for reelle og ikke-negative følger, såsom sandsynlighedsgenererende funktioner. Specielt er den brugbar i teorien for Galton-Watson-processer.