Komplekse tal

Komplekse tal (betegnes ℂ) er tal bestående af summen af et reelt tal (realdelen) og et imaginært tal (den imaginære enhed gange imaginærdelen). Ganske som med de reelle tal kan man foretage en lang række regneoperationer med de komplekse tal. De bruges ofte til at beskrive og regne på størrelser, som både har en størrelse og en retning eller vinkel, f.eks. elektriske vekselstrømme med deres størrelse og faseforhold.

Definition

Mens de reelle tal kan markeres som et bestemt punkt på en tallinje eller "skala", markeres et komplekst tal med et punkt i den matematiske plan; en todimensional flade som f.eks. et stykke papir. Tegningen til højre viser et Argand-diagram; det illustrerer mængden $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$, der omfatter alle komplekse tal: De reelle tal og de imaginære tal er delmængder af de komplekse tal, og ligger langs hhv. den reelle akse og den imaginære akse.

Rektangulær og polær repræsentation

På illustrationen er vist det punkt der repræsenterer det komplekse tal z: Der er to måder at referere til dette tal på:

• Punktet for z ligger ud for realdelen x på den reelle akse, og ud for imaginærdelen y på den imaginære akse, så man kan beskrive tallet ved dets real- og imaginærdel: z = x + i·y. Dette kaldes for rektangulær repræsentation af tallet z. Tallet i kaldes den imaginære enhed, og har den specielle egenskab at $i^{2}=-1$$i^{2}=-1$.
• Punktet for z ligger i en vis afstand r, kaldet modulus, fra koordinatsystemets origo (skæringspunktet mellem reel og imaginær akse), og retningen fra origo til punktet for z danner en vis vinkel Φ, kaldet argumentet, med den reelle akse. Ved at anføre r og Φ har man den såkaldte polære repræsentation af tallet z, og det skrives $r\angle \Phi$$r\angle \Phi$

Regneoperationer uden den imaginære enhed

Der findes regneregler der fastlægger hvordan man foretager forskellige regneoperationer på komplekse tal (givet på rektangulær form), svarende til dem man kan foretage på reelle tal. Dertil findes der for ethvert komplekst tal tallets såkaldt komplekst konjugerede.

Hvis det komplekse tal A har realdelen $x_{A}$$x_{A}$ og imaginærdelen $y_{A}$$y_{A}$, dvs. $A=x_{A}+y_{A}\cdot i$$A=x_{A}+y_{A}\cdot i$, så kan man beregne:

Regneoperation	Resultat
	Realdel	Imaginærdel
${\bar {A}}$${\bar {A}}$, kompleks konjugerer til $A\,\!$$A\,\!$	$x_{A}\,\!$$x_{A}\,\!$	$-y_{A}\,\!$$-y_{A}\,\!$
$A^{-1}\,\!$$A^{-1}\,\!$, reciprokke af $A\,\!$$A\,\!$	${\frac {x_{A}}{x_{A}^{2}+y_{A}^{2}}}$${\frac {x_{A}}{x_{A}^{2}+y_{A}^{2}}}$	$-{\frac {y_{A}}{x_{A}^{2}+y_{A}^{2}}}$$-{\frac {y_{A}}{x_{A}^{2}+y_{A}^{2}}}$

Der findes regneforskrifter der fastlægger hvordan man kan udføre de fire grundlæggende regnearter på A og et andet komplekst tal $B=x_{B}+y_{B}\cdot i$$B=x_{B}+y_{B}\cdot i$

Regneoperation	Resultat
	Realdel	Imaginærdel
$A+B\,\!$$A+B\,\!$	$x_{A}+x_{B}\,\!$$x_{A}+x_{B}\,\!$	$y_{A}+y_{B}\,\!$$y_{A}+y_{B}\,\!$
$A-B\,\!$$A-B\,\!$	$x_{A}-x_{B}\,\!$$x_{A}-x_{B}\,\!$	$y_{A}-y_{B}\,\!$$y_{A}-y_{B}\,\!$
$A\cdot B\,\!$$A\cdot B\,\!$	$x_{A}\cdot x_{B}-y_{A}\cdot y_{B}\,\!$$x_{A}\cdot x_{B}-y_{A}\cdot y_{B}\,\!$	$x_{A}\cdot y_{B}+x_{B}\cdot y_{A}\,\!$$x_{A}\cdot y_{B}+x_{B}\cdot y_{A}\,\!$
${\frac {A}{B}}$${\frac {A}{B}}$	${\frac {x_{A}\cdot x_{B}+y_{A}\cdot y_{B}}{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}$${\frac {x_{A}\cdot x_{B}+y_{A}\cdot y_{B}}{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}$	${\frac {y_{A}\cdot x_{B}-x_{A}\cdot y_{B}}{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}$${\frac {y_{A}\cdot x_{B}-x_{A}\cdot y_{B}}{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}$

Har man to komplekse tal på polær form, nemlig $A=r_{A}\angle \Phi _{A}$$A=r_{A}\angle \Phi _{A}$ og $B=r_{B}\angle \Phi _{B}$$B=r_{B}\angle \Phi _{B}$, gælder endvidere:

Regneoperation	Resultat
	Modulus	Argument
$A\cdot B\,\!$$A\cdot B\,\!$	$r_{A}\cdot r_{B}\,\!$$r_{A}\cdot r_{B}\,\!$	$\Phi _{A}+\Phi _{B}\,\!$$\Phi _{A}+\Phi _{B}\,\!$
${\frac {A}{B}}$${\frac {A}{B}}$	${\frac {r_{A}}{r_{B}}}$${\frac {r_{A}}{r_{B}}}$	$\Phi _{A}-\Phi _{B}\,\!$$\Phi _{A}-\Phi _{B}\,\!$

Regneoperationer med den imaginære enhed

For simple regneoperationer bliver beregninger med komplekse tal nøjagtig de samme, som hvis man gør brug af den imaginære enhed. Det gør regneoperationerne betragteligt meget simplere:

Sum

$A+B=(x_{A}+iy_{A})+(x_{B}+iy_{B})=(x_{A}+x_{B})+i(y_{A}+y_{B})\;$$A+B=(x_{A}+iy_{A})+(x_{B}+iy_{B})=(x_{A}+x_{B})+i(y_{A}+y_{B})\;$

Differens

$A-B=(x_{A}+iy_{A})-(x_{B}+iy_{B})=(x_{A}-x_{B})+i(y_{A}-y_{B})\;$$A-B=(x_{A}+iy_{A})-(x_{B}+iy_{B})=(x_{A}-x_{B})+i(y_{A}-y_{B})\;$

Produkt

$A\cdot B$$A\cdot B$	$=(x_{A}+iy_{A})\cdot (x_{B}+iy_{B})$$=(x_{A}+iy_{A})\cdot (x_{B}+iy_{B})$
	$=x_{A}x_{B}+ix_{A}y_{B}+ix_{B}y_{A}+i^{2}y_{A}y_{B}\;$$=x_{A}x_{B}+ix_{A}y_{B}+ix_{B}y_{A}+i^{2}y_{A}y_{B}\;$
	$=(x_{A}x_{B}-y_{A}y_{B})+i(x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A})\;$$=(x_{A}x_{B}-y_{A}y_{B})+i(x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A})\;$

Division

${\frac {A}{B}}$${\frac {A}{B}}$	$={\frac {x_{A}+iy_{A}}{x_{B}+iy_{B}}}$$={\frac {x_{A}+iy_{A}}{x_{B}+iy_{B}}}$	$={\frac {(x_{A}+iy_{A})(x_{B}-iy_{B})}{(x_{B}+iy_{B})(x_{B}-iy_{B})}}$$={\frac {(x_{A}+iy_{A})(x_{B}-iy_{B})}{(x_{B}+iy_{B})(x_{B}-iy_{B})}}$
		$={\frac {(x_{A}x_{B}+y_{A}y_{B})+i(x_{B}y_{A}-x_{A}y_{B})}{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}$$={\frac {(x_{A}x_{B}+y_{A}y_{B})+i(x_{B}y_{A}-x_{A}y_{B})}{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}$
		$={\frac {x_{A}x_{B}+y_{A}y_{B}}{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}+i{\frac {x_{B}y_{A}-x_{A}y_{B}}{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}$$={\frac {x_{A}x_{B}+y_{A}y_{B}}{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}+i{\frac {x_{B}y_{A}-x_{A}y_{B}}{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}$

Invers

${\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)}}={\frac {x-iy}{x^{2}-ixy+ixy-i^{2}y^{2}}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$${\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)}}={\frac {x-iy}{x^{2}-ixy+ixy-i^{2}y^{2}}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$

Umiddelbart ser det mere kompliceret ud, men den eneste regneregel man skal huske er i²=-1.

Komplekse tal på eksponentiel form

Vinklen φ og længden r udgør koordinaterne for komplekse tal i denne notation.

Et muligt alternativ til skrivemåden for de komplekse tal er at udnytte det faktum at komplekse tal kan beskrives vha. en vinkel og en længde i samspil med Eulers formel. Det betyder at det komplekse tal som vi betragtede før omdannes til:

$z=x+i\cdot y=r\cdot e^{i\cdot \varphi }$$z=x+i\cdot y=r\cdot e^{i\cdot \varphi }$

Her dannes to nye parametre, som beskrevet ovenfor og på billedet til højre. Disse angiver hhv.:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\varphi ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$$\varphi ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$

Dette ser selvfølgelig ret besværligt ud, men her er også alle særtilfælde taget med for hvordan vinklen kan opføre sig. Man kan selvfølgelig undre sig over hvad der er vundet ved at omdanne komplekse tal til eksponentiel form, men det besvares vist når man ser nogle af de tilsvarende regneoperationer som ovenfor:

Multiplikation

Vi betegner nu de to forskellige komplekse tal, ved fodtegnene 1 og 2:

$\left(r_{1}e^{i\cdot \varphi _{1}}\right)\cdot \left(r_{2}\cdot e^{i\cdot \varphi _{2}}\right)=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}$$\left(r_{1}e^{i\cdot \varphi _{1}}\right)\cdot \left(r_{2}\cdot e^{i\cdot \varphi _{2}}\right)=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}$

Som man kan se slipper man altså ret billigt ved multiplikation, når de komplekse tal er på eksponentiel form. Her skal man blot gange to tal, og lægge to tal sammen.

Division

Et næsten tilsvarende resultat opnås ved division. Her skal vinklerne blot trækkes fra hinanden, og længderne divideres.

${\frac {r_{1}e^{i\cdot \varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\cdot \varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$${\frac {r_{1}e^{i\cdot \varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\cdot \varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

Eksponentiering

De Moivres formel gør desuden heltalseksponentiering til en smal sag:

$\left(re^{i\cdot \varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }\quad =r^{n}\cdot (\cos(nx)+i\cdot \sin(nx)),\quad n\in \mathbb {Z}$$\left(re^{i\cdot \varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }\quad =r^{n}\cdot (\cos(nx)+i\cdot \sin(nx)),\quad n\in \mathbb {Z}$

Anvendelser

Indenfor elektronik bruges komplekse tal til at modellere strømme, spændinger og "modstande": Hvis en vekselspænding repræsenteres ved det komplekse tal U, så beskriver modulus ("afstanden") til U vekselspændingens spidsværdi, mens argumentet til U ("vinklen") angiver vekselspændingens fase i forhold til en reference.

Fraktaler, for eksempel Juliamængden og Mandelbrotmængden, dannes ved hjælp af komplekse tal.

Andengradsligninger kan have komplekse løsninger og løsning af tredjegradsligninger kræver beregninger med komplekse tal.

Faktisk garanterer algebraens fundamentalsætning at ethvert polynomium af grad n har n rødder i de komplekse tal (hvoraf nogle kan tænkes at være udelukkende reelle eller imaginære), hvis rødderne regnes med multiplicitet.

Ligheder med og forskelle fra vektorer

Selv om addition og subtraktion af komplekse tal foregår på samme måde som for todimensionale vektorer, må de to ting ikke forveksles: Mens man kan foretage en lang række regneoperationer på komplekse tal, kan vektorer kun adderes og subtraheres, og dertil indgå i to forskellige former for vektorprodukt.