Komplekse tal

Et komplekst tal $z=a+b\cdot i$ kan illustreres med et punkt (sort prik) i et talplan, hvor realdelen $a$ afsættes ud af førsteaksen (Re) og imaginærdelen $b$ afsættes op ad andenaksen (Im). Beliggenheden af de tre komplekse tal $0$, $1$ og $\mathrm {i}$ er angivet med farvede prikker.

Ved et komplekst tal forstås en størrelse $z$, som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse $\mathrm {i}$. Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.

Et komplekst tal skrives på formen

$z=a+b\cdot \mathrm {i} ,\quad a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R}$

hvor $a$ og $b$ som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor $\mathrm {i}$ er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben

$\mathrm {i} ^{2}=-1$

Da det for ethvert reelt tal $a$ gælder, at $a^{2}\geqq 0$, kan $\mathrm {i}$ ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales $\mathrm {i}$ også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).

En stringent definition af de komplekse tal $\mathbb {C}$ og den imaginære enhed $\mathrm {i}$ gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.

Reelle kontra komplekse tal

Nedenstående figurer illustrerer løst forskellen på reelle og komplekse tal.

Øverste panel: Den reelle, éndimensionale talakse. Punkter med heltallige koordinater er markeret med prikker. Specielt er de reelle tal 0 og 1 angivet med grøn og rød farve. Ved addition parallelforskydes talaksen, på figuren adderes tallet -2.3 (eller 2.3 trækkes fra). Nederste panel: Ved multiplikation strækkes eller sammentrækkes talaksen, på figuren multipliceres med tallet 1.6.

De reelle tal er en éndimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter på en tallinie. Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.

Øverste panel: Det komplekse, todimensionale talplan. Punkter med heltallige koordinater er markeret med et net af prikker. Specielt er de komplekse tal 0, 1 og $\mathrm {i}$ angivet med grøn, rød og blå farve. Ved addition parallelforskydes priknettet både i førsteaksens og andenaksens retning. På figuren adderes tallet $-2.8+1.5\cdot \mathrm {i}$. Nederste panel: Ved multiplikation sker der både en strækning og en rotation af planet. På figuren mulipliceres priknettets punkter med tallet $0.8+1.38564\cdot \mathrm {i}$, der dels strækker planet med faktoren 1.6, dels drejer det vinklen 60°.

De komplekse tal er en todimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter i et talplan. Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, mens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.

Notation

$\mathbb {C}$

Mængden af komplekse tal
betegnes med bogstavet C
med dobbeltstreg.

I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne $z=a+b\cdot \mathrm {i}$ og $z=a+\mathrm {i} \cdot b$ eller der veksles frit mellem dem. For at fremhæve den imaginære enhed $\mathrm {i}$, anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering.

Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille $i$ til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen $j$ for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.

Her benyttes notationen $z=a+b\cdot \mathrm {i}$.

Inden for de reelle tal $\mathbb {R}$ er der tradition for at betegne variable med bogstaverne $x$ og $y$; inden for de komplekse tal $\mathbb {C}$ anvendes traditionelt variabelnavne som $z$ og $w$.

De to dele af det komplekse tal $z$ kaldes realdelen og imaginærdelen:

Realdelen af $z$:		$\operatorname {Re} (z)=a$
Imaginærdelen af $z$:		$\operatorname {Im} (z)=b$

Bemærk, at realdelen og imaginærdelen er reelle tal.

Entydighed

Fremstilling af et komplekst tal på formen $z=a+b\cdot \mathrm {i}$ er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger:

$z=a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i}$   og   $z=a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i}$

Man kan da omskrive således:

$a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} =a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i}$

hvoraf

$a_{1}-a_{2}=(b_{2}-b_{1})\cdot \mathrm {i}$

Antag at $b_{2}\neq b_{1}$. Ved division fås da, at

${\frac {a_{1}-a_{2}}{b_{2}-b_{1}}}=\mathrm {i}$

Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen $b_{2}\neq b_{1}$ fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs. $b_{2}=b_{1}$. Videre følger, at $a_{1}-a_{2}=(b_{2}-b_{1})\cdot \mathrm {i} =0$, så også $a_{2}=a_{1}$. De to fremstillinger er altså ens.

Elementære regneregler for komplekse tal

Summen af to komplekse tal $z_{1}$ og $z_{2}$ fås ved at addere deres real- og imaginærdele og kan derfor illustreres med det viste parallelogram.

Reglerne er helt de samme som for reelle tal, blot skal man erindre, at $\mathrm {i} ^{2}=-1$.

Vi betragter to komplekse tal,

$z_{1}=a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} \quad$ og $\quad z_{2}=a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i}$.

Kompleks addition:

$z_{1}+z_{2}$	$\,=\,$	$(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )+(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\cdot \mathrm {i}$

(1)

Kompleks subtraktion:

$z_{1}-z_{2}$	$\,=\,$	$(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )-(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})\cdot \mathrm {i}$

(2)

Kompleks multiplikation:

$z_{1}\cdot z_{2}$	$\,=\,$	$(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$a_{1}\cdot a_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot \mathrm {i} +b_{1}\cdot \mathrm {i} \cdot a_{2}+b_{1}\cdot \mathrm {i} \cdot b_{2}\cdot \mathrm {i}$
	$\,=\,$	$(a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2})+(a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})\cdot \mathrm {i}$

(3)

Kompleks division:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$	$\,=\,$	${\frac {a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} }{a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }}={\frac {(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\cdot \mathrm {i} )}{(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\cdot \mathrm {i} )}}$
	$\,=\,$	${\frac {(a_{1}\cdot a_{2}+b_{1}\cdot b_{2})+(a_{2}\cdot b_{1}-a_{1}\cdot b_{2})\cdot \mathrm {i} }{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

(4)

Kompleks konjugering:

${\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i}$

(5)

Det læses "z-streg". Bemærk, at divisionen udføres ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal.

Eksempler

(Eks. 1)

Elementær regning med komplekse tal

• $(5-4\cdot \mathrm {i} )+(-3-2\cdot \mathrm {i} )={\color {ForestGreen}2-6\cdot \mathrm {i} }$

• $(2+\mathrm {i} )\cdot (3-4\cdot \mathrm {i} )=6-8\cdot \mathrm {i} +3\cdot \mathrm {i} +4={\color {ForestGreen}10-5\cdot \mathrm {i} }$

• ${\frac {3-4\cdot \mathrm {i} }{5+2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {(3-4\cdot \mathrm {i} )\cdot (5-2\cdot \mathrm {i} )}{(5+2\cdot \mathrm {i} )\cdot (5-2\cdot \mathrm {i} )}}={\frac {15-20\cdot \mathrm {i} -6\cdot \mathrm {i} +8\cdot {\mathrm {i} }^{2}}{25-4\cdot {\mathrm {i} }^{2}}}={\frac {7-26\cdot \mathrm {i} }{29}}={\color {ForestGreen}\textstyle {\frac {7}{29}}-{\frac {26}{29}}\cdot \mathrm {i} }$

• ${\overline {2-7\cdot \mathrm {i} }}={\color {ForestGreen}2+7\cdot \mathrm {i} }$

• ${\overline {7\cdot \mathrm {i} -2}}={\color {ForestGreen}-2-7\cdot \mathrm {i} }$

• ${(a+b\cdot \mathrm {i} )}^{2}=(a+b\cdot \mathrm {i} )\cdot (a+b\cdot \mathrm {i} )={\color {ForestGreen}a^{2}-b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \mathrm {i} }$

• $(a+b\cdot \mathrm {i} )\cdot (a-b\cdot \mathrm {i} )=a^{2}-{(b\cdot \mathrm {i} )}^{2}={\color {ForestGreen}a^{2}+b^{2}}$

De to sidste eksempler viser beregninger med to af kvadratsætningerne.

Definition af de komplekse tal

Konstruktion

De komplekse tal $\mathbb {C}$ kan konstrueres med udgangspunkt i polynomier af grad 1 med koefficienter i $\mathbb {R}$ ($\mathbb {R}$[x]) Altså polynomier på formen ^{s. 253}

$a+bx$

Alle komplekse tal er på samme form, hvor "x" bliver kaldt "i"

$a+bx=a+bi$

Når man ganger polynomier af anden grad kan man dog få polynomier af højere grad, for eksempel

$a+bx+cx^{2}$

Som en del af konstruktionen, definere vi x^2 til -1. For eksempel bliver udtrykket ovenfor til

$(a-c)+bx$

Derved kan all polynomier bringes ned til grad 1 og derved den karakteristiske form af komplekse tal

Da komplekse tal også er polynomier (altså er i $\mathbb {R}$[x]), gælder alle de samme regler. Vi kan derfor lægge dem sammen, trække dem fra hindanen og gange, helt på samme måde som $\mathbb {R}$[x]. Man normalt ikke dividere i $\mathbb {R}$[x], dog kan man alligevel dividere komplekse tal, som det næste viser

Reciprokt element

Det reciprokke element af ^{s. 46}

$a_{1}+a_{2}i$

er elementet

${\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}i$

ved at gange de 2 tal får vi

$(a_{1}+a_{2}i)\cdot ({\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}i)=$

$(a_{1}{\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}-a_{2}{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}})+(a_{2}{\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}-a_{1}{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}})i=$

$1$Hvis vi ønsker at dividere a med b, ganger vi så bare det reciprokke element af b med a

factor ring konstruktion

Den samme konstruktion af komplekse tal kan udtrykkes mere kompakt, ved brug af hi-tech sprog af abstract algebra. De komplekse tal er isomorphic til R[x]/<x^2 + 1>. Denne konstruktion er helt tilsvarende til den allerede givet. ^{Ch 12, 13 og 14}

R[x] er et integral domain da R også er. x^2 + 1 er i denne ring og <x^2 + 1> er dens principal ideal. Dette er også er maksimal ideal. Så dens factor ring er et field. Denne ring er så isomorphic til de komplekse tal. For eksempel

$(x^{2})<x^{2}+1>=(-1+x^{2}+1)<x^{2}+1>=(-1)<x^{2}+1>+(x^{2}+1)<x^{2}+1>=(-1)<x^{2}+1>$

Detter svare så til (efter en isomorphism)

$x^{2}=-1$

De reelle tal $\mathbb {R}$ i de komplekse tal $\mathbb {C}$

Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. R er lukket indlejret mængde af R[x], derfor må R også være en lukket indlejring mængde af C. Dette betyder at R er lukket under multiplikation og addition, altså at man ikke man konstruere C fra R kun ved brug af disse operationer. På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal $a+0i$ med det reelle tal $a$.

C kan også ses som et vector space over R. Et set basis vectors er så givet ved {1, i}. Ser man bort fra multiplikation af komplekse tal, er de komplekse tal identiske med $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$. For eksempel kan et udtryk i C ^{s. 330}

$2(3+5i)$

Udtrykes som et i $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$

$2(3j+5k)$

Kartesisk og polær beskrivelse af komplekse tal

Kartesisk beskrivelse: Kompleks talplan

Figuren viser et komplekst tal $z$ og dets konjugerede ${\bar {z}}$; de to ligger symmetrisk omkring den reelle talakse. Desuden illustreres, at multiplikation med $\mathrm {i}$ svarer til en drejning på $90^{\circ }$ og at multiplikation med $-\mathrm {i}$ (eller division med $\mathrm {i}$!) svarer til en drejning på $-90^{\circ }$.

Et komplekst tal $z\ =a+b\cdot \mathrm {i}$ kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne $(a,b)$ i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet. Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit.

Nogle geometriske fortolkninger:

• Da ${\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i}$, svarer kompleks konjugering, jfr. ligning (5), til spejling om den reelle akse.
• Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum $z=z_{1}+z_{2}$ konstrueres som et paralellogram.
• Multiplikation med $\mathrm {i}$ sker ved drejning på $90^{\circ }$, division ved drejning på $-90^{\circ }$.
• Da $\mathrm {Re} (z)=a$, fås realdelen ved projektion af $(a,b)$ på den reelle akse.
• Da $\mathrm {Im} (z)=b$, fås imaginærdelen ved projektion af $(a,b)$ på den imaginære akse.

Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved $z$ og ${\bar {z}}$:

$\mathrm {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}\cdot (z+{\bar {z}})$

$\mathrm {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2\cdot \mathrm {i} }}\cdot (z-{\bar {z}})$

Polær beskrivelse: Modulus og argument

Et komplekst tal $z$ kan fastlægges både ved sine kartesiske koordinater $(a,b)$ (som $z=a+b\cdot \mathrm {i}$) og ved sine polære koordinater $\langle r,\varphi \rangle$ (som $z=r\cdot \exp(\varphi \cdot \mathrm {i}$)). Figuren viser modulus $r=|z|$ og argument $\varphi =\arg(z)$ for dels det komplekse tal $z=4+3\cdot \mathrm {i}$, dels det konjugerede tal ${\bar {z}}$ og dels for $w=-3.5-2\cdot \mathrm {i}$ (med polære koordinater $\langle s,\psi \rangle$. Argumentet kan vælges at ligge i vinkelintervallet $[-180^{\circ },\,180^{\circ }[$ (brugt ved ${\bar {z}}$) eller i intervallet $[0^{\circ },\,360^{\circ }[$ (brugt ved $w$).

Et komplekst tal $z=a+b\cdot \mathrm {i}$, som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater ${\text{P}}=(a,b)$ også beskrives ved sine polære koordinater $\left\langle r,\varphi \right\rangle$. Her betegner $r$ punktets afstand fra origo ${\text{O}}=(0,0)$ og $\varphi$ er den vinkel, som liniestykket ${\text{OP}}$ danner med den reelle akse, se figuren.

Den polære koordinat $r$ kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives

$|z|=r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Den polære koordinat $\varphi$ kaldes det komplekse tals argument og skrives

$\arg(z)=\varphi =\operatorname {arctanXY} (a,b)$

Her er $\operatorname {arctanXY} (x,y)$ den arcustangens-funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne $(x,y)$ danner med førsteaksen.

Det komplekse tal $z=0$ har modulus $\left\vert z\right\vert =0$, men tillægges ikke noget argument.

Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis $\arg(z)=\varphi$ er argument for $z$, så kan også ethvert af tallene $\varphi +2\cdot \pi \cdot n,\;n\in \mathbb {Z}$ bruges som argument, fordi addition af et multiplum af $2\cdot \pi$ ( eller $360^{\circ }$ i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade $\varphi$ ligge i det halvåbne interval $[-\pi ,\pi [$ ( eller i gradmål $[-180^{\circ },\,180^{\circ }[$).

Eksempler

(Eks. 3)

$z=-\mathrm {i}$	$\,:\,$	$|z|={\sqrt {(0)^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1$		$\arg(z)=-\pi \ 2=-90^{\circ }$
$z=-1+\mathrm {i}$	$\,:\,$	$|z|={\sqrt {(-1)^{2}+(1)^{2}}}={\sqrt {2}}$		$\arg(z)=3/4\cdot \pi =135^{\circ }$
$z=-5-12\cdot \mathrm {i}$	$\,:\,$	$|z|={\sqrt {(-5)^{2}+(-12)^{2}}}={\sqrt {169}}=13$		$\arg(z)=\operatorname {arctanXY} (-5,-12)\approx -1.9656\approx -112.62^{\circ }$

Multiplikation og division af to komplekse tal på polær form

De kartesiske koordinater for et komplekst tal $z$ med modulus $r=|z|$ og argument $\varphi =\arg(z)$ fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:

$\mathrm {Re} \,(z)=r\cdot \cos(\varphi )$

$\mathrm {Im} \,(z)=r\cdot \sin(\varphi )$

Tallet kan derfor skrives

$z=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )$.

Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal

$z$	$\,=\,$	$|z|\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )$	$\quad$	$\varphi =\arg(z)$
$w$	$\,=\,$	$|z|\cdot (\cos(\psi )+\sin(\psi )\cdot \mathrm {i} )$	$\quad$	$\psi =\arg(w)$

bliver

$z\cdot w$	$\,=\,$	$|z|\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )\cdot |w|\cdot (\cos(\psi )+\sin(\psi )\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$|z|\cdot |w|\cdot (\cos(\varphi )\cdot \cos(\psi )-\sin(\varphi )\cdot \sin(\psi ))+(\cos(\varphi )\cdot \sin(\psi )+\sin(\varphi )\cdot \cos(\psi ))\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$|z|\cdot |w|\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\sin(\varphi +\psi )\cdot \mathrm {i} )$

hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske additionsformler. Man kan heraf konkludere, at

$|z\cdot w|\,=\,|z|\cdot |w|$

$\arg(z\cdot w)\,=\arg(z)+\arg(w)$

For $z\neq 0$ gælder, at $z\cdot {\frac {1}{z}}=1$. Heraf slutter vi dels at

$1=|1|=\left|z\cdot {\frac {1}{z}}\right|=|z|\cdot \left|{\frac {1}{z}}\right|\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\frac {1}{z}}\right|={\frac {1}{|z|}}$

og dels at

$0=\arg(1)=\arg \left(z\cdot {\frac {1}{z}}\right)=\arg(z)+\arg \left({\frac {1}{z}}\right)\quad \Leftrightarrow \quad \arg \left({\frac {1}{z}}\right)=-\arg(z)$

Heraf følger

$\left|{\frac {z}{w}}\right|=\left|z\cdot {\frac {1}{w}}\right|=|z|\cdot \left|{\frac {1}{w}}\right|=|z|\cdot {\frac {1}{|w|}}={\frac {|z|}{|w|}}$

samt

$\arg \left({\frac {z}{w}}\right)=\arg \left(z\cdot {\frac {1}{w}}\right)=\arg(z)+\arg \left({\frac {1}{w}}\right)=\arg(z)-\arg(w)$

Funktionen cis

Den irske matematiker William Rowan Hamilton, omtalt i det historiske afsnit, indførte hjælpefunktionen $\mathrm {cis}$ med komplekse funktionsværdier:

$\mathrm {cis} (x)=\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R}$

(9)

Navnet kan opfattes som en sammentrækning af cosinus, imaginær og sinus. Ved differentiation med hensyn til $x$ fås

$\mathrm {cis} (x)'=-\sin(x)+\cos(x)\cdot \mathrm {i} =\cos(x)\cdot \mathrm {i} +\sin(x)\cdot \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {cis} (x)$

Funktionen $\mathrm {cis}$ differentieres altså efter samme regel som en eksponentialfunktion.

Desuden har funktionen følgende egenskaber fælles med den naturlige eksponentialfunktion $\exp$:

• $\mathrm {cis} (z+w)=\mathrm {cis} (z)\cdot \mathrm {cis} (w)$

• $\mathrm {cis} (z-w)={\frac {\mathrm {cis} (z)}{\mathrm {cis} (w)}}$

Anvendelse af $\mathrm {cis}$ medfører en kortere notation og forbedret læselighed, for eksempel $e^{\mathrm {i} \cdot x^{2}}$ kontra $\mathrm {cis} (x^{2})$.

de Moivres formel og heltalspotenser

Hvis man i formlen for produktet af $z$ og $w$ sætter $z=w$, får man

$z^{2}=|z|^{2}\cdot (\cos(2\cdot \varphi )+\sin(2\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )$

og for produktet af $z$ og $z^{2}$ fås

$z^{3}=|z|^{3}\cdot (\cos(3\cdot \varphi )+\sin(3\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )$

hvilket straks kan generaliseres til

$z^{n}=|z|^{n}\cdot (\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )\quad n\in \mathbb {N}$

Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den

$(r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} ))^{n}=r^{n}\cdot (\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )\quad n\in \mathbb {N}$

(10)

Illustration af heltalspotenser af et komplekst tal $z$, altså $z^{2}$, $z^{3}$, ... $z^{n}$, ... Med grå farve vises potenser af $z$, hvor $|z|=1$ og $\arg(z)=17^{\circ }$ og hvor potensen varierer fra $1$ til $20$. Potenserne ligger alle på enhedscirklen. Med cyan farve vises potenser af $z$, hvor $|z|=0.96$ og $\arg(z)=17^{\circ }$ og hvor potensen varierer fra $1$ til $23$. Potenserne ligger alle på en indadsnoet logaritmisk spiral. Med lysegrøn farve vises potenser af $z$, hvor $|z|=1.04$ og $\arg(z)=17^{\circ }$ og hvor potensen varierer fra $1$ til $20$. Potenserne ligger alle på en udadsnoet logaritmisk spiral.

eller med anvendelse af $\mathrm {cis}$-funktionen, jfr. definitionen (9)

$\mathrm {cis} (z)^{n}=\mathrm {cis} (n\cdot z)$

Opløftning af et komplekst tal $z$ til $n$-te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus $r$ i $n$-te potens og gange dets argument $\varphi$ med $n$. Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.

Fordelen ved de Moivres formel for $z^{n}$ er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser $z^{2}$, $z^{3}$, ... $z^{n-1}$. Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af $\arg(z)$ samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.

Eksempler

(Eks. 4)

For det komplekse tal $z=0.95+0.39\cdot \mathrm {i} \,$ er $\,|z|\approx 1.026937,\arg(z)\approx 0.389548\approx 22.39144^{\circ }$

Potenser af $z$ beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.

Potenser af $z=0.95+0.39\cdot \mathrm {i} \,$

Potens	Kartesiske $z$-potenser	Modulus	Argument	Realdel	Imaginærdel
$n$	$z^{n}$	$|z|^{n}$	$\arg(z)\cdot n$	$\mathrm {Re} \,(z^{n})$	$\mathrm {Im} \,(z^{n}$)
$1$	$0.95+0.39\cdot \mathrm {i}$	$1.026\,937\,194$	$0.389\,547\,722$	$0.95$	$0.39$
$2$	$0.7574+0.741\cdot \mathrm {i}$	$1.046$	$0.779\,095\,444$	$0.7504$	$0.741$
$3$	$0.42389+0.996606\cdot \mathrm {i}$	$1.083\,007\,965$	$1.168\,643\,166$	$0.42389$	$0.996606$
$4$	$0.014\,019\,16+1.112\,0928\cdot \mathrm {i}$	$1.112\,181\,160$	$1.558\,190\,888$	$0.014\,019\,16$	$1.112\,0928$

Komplekse enhedsrødder

Illustration af komplekse enhedsrødder, dvs. løsninger til ligningen $z^{n}=1$ for graderne $n=2$ til $n=6$.

Inden for de reelle tals mængde $\mathbb {R}$ har ligningen $x^{n}=1$ enten én eller to reelle løsninger, nemlig $x=1$, hvis $n$ er ulige, og $x=-1$ og $x=+1$, hvis $n$ er lige.

Ifølge algebraens fundamentalsætning har ligningen $z^{n}=1$ $n$ komplekse rødder, som nu skal bestemmes. Først konstateres, at

$z^{n}=1\quad \Rightarrow \quad |z^{n}|=|z|^{n}=1\quad \Rightarrow \quad |z|=1$.

Alle løsninger ligger altså på enhedscirklen, så $z$ kan skrives $z=\operatorname {cis} (\varphi )$, hvor $\varphi$ er løsningens argument. Vi anvender nu de Moivres formel (10):

$z^{n}=1$	$\quad \Rightarrow \quad$	$\operatorname {cis} (\varphi )^{n}=\operatorname {cis} (n\cdot \varphi )=1$
	$\quad \Rightarrow \quad$	$\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} =1$
	$\quad \Rightarrow \quad$	$\cos(n\cdot \varphi )=1$
	$\quad \Rightarrow \quad$	$n\cdot \varphi =2\cdot \pi \cdot p,\quad p\in \mathbb {N}$
	$\quad \Rightarrow \quad$	$\varphi ={\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p,\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]$

Løsningerne er altså de $n$ komplekse tal

$z=\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p\right),\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]$

(11)

Disse ligger jævnt fordelt på enhedscirklen med et indbyrdes vinkelmellemrum på ${\tfrac {2\cdot \pi }{n}}$ og udspænder en regulær $n$-kant med et hjørne i (1,0). De kaldes for de n-te enhedsrødder. ^{:55 :30}

Roden med $p=1$ betegnes normalt $\varepsilon$, de øvrige er potenser af denne. Enhedsrødderne kan derfor også opremses som

$1,\;\varepsilon ,\;\varepsilon ^{2},\;\varepsilon ^{3},\;...,\;\varepsilon ^{n-1},\quad \varepsilon =\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\right)$.

Figuren i det følgende afsnit illustrerer desuden enhedsrøddernes beliggenhed i tilfælde $n=5$, hvor

$\varepsilon =\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{5}}\right)=\cos(72^{\circ })+\sin(72^{\circ })\cdot \mathrm {i}$.

Ligningen zⁿ = c

Illustration af løsninger til komplekse ligninger af typen $z^{n}=c$. Grøn farve: Enhedscirklen. Rød farve: Løsninger til ligningen $z^{5}=1$ (enhedsrødderne af grad 5). Blå farve: Løsninger til ligningen $z^{5}=-11+3\cdot \mathrm {i}$. Løsningspunkterne danner i begge tilfælde en regulær femkant.

Lad $c=r\cdot \operatorname {cis} (\varphi )$ være et givet komplekst tal med modulus $r$ og argument $\varphi$. Vi søger alle løsninger til ligningen

$z^{n}=c\quad n\in \mathbb {N}$

Dertil skriver vi også $z$ på polær form, $z=|z|\cdot \operatorname {cis} (v)$ og anvender igen de Moivres formel (10):

$z^{n}=c\quad \Rightarrow \quad |z|^{n}\cdot \operatorname {cis} (n\cdot v)=r\cdot \operatorname {cis} (\varphi )$

Denne ligning er opfyldt, hvis

$|z|={\sqrt[{n}]{r}}\quad$ og $\quad n\cdot v=\varphi +2\cdot \pi \cdot p\quad$ eller $\quad v={\tfrac {\varphi }{n}}+{\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p$

Ligningens $n$ løsninger er derfor

$z={\sqrt[{n}]{r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {\varphi }{n}}+{\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p\right)\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]$

(12)

Eksempel

(Eks. 5)

Hvilke komplekse løsninger har ligningen $z^{5}=-11+3\cdot \mathrm {i}$?

For denne ligning er $r={\sqrt {(-11)^{2}+3^{2}}}={\sqrt {130}}$ og $\varphi =\operatorname {ArctanXY} (-11,3)=2.875\;341=164.745^{\circ }$, så

$z={\sqrt[{10}]{130}}\cdot \operatorname {cis} \left(0.575\;068+{\tfrac {2\cdot \pi }{5}}\cdot p\right)\quad p\in [\;0,\;1,\;2,\;3,\;4,]$

Ved udregning fås værdierne

$p$	$z_{p}$
$\quad 0\quad$	$\quad +1.365\;327+0.884\;926\cdot \mathrm {i} \quad$
$1$	$-0.419\;705+1.571\;960\cdot \mathrm {i}$
$2$	$-1.624\;719+0.086\;599\cdot \mathrm {i}$
$3$	$-0.584\;426-1.518\;439\cdot \mathrm {i}$
$4$	$+1.263\;524-1.025\;046\cdot \mathrm {i}$

I det komplekse plan danner de til $z_{p}$ hørende punkter en regulær femkant, se figuren.

Kompleks andengradsligning

Ligningen z² = c

Her er $c$ et vilkårligt komplekst tal. Ligningen kan løses i både kartesiske og polære koordinater:

Løsning i kartesiske koordinater

Vi sætter $z=x+y\cdot \mathrm {i}$ og $c=a+b\cdot \mathrm {i}$, hvor $a$ og $b$ er kendte reelle tal. Opgaven er da, at finde $x$ og $y$.

$(x+y\cdot \mathrm {i} )^{2}=a+b\cdot \mathrm {i}$

$(x^{2}-y^{2})+2\cdot x\cdot y\cdot \mathrm {i} =a+b\cdot \mathrm {i}$

${\begin{cases}x^{2}-y^{2}=a\\2\cdot x\cdot y=b\end{cases}}$

Man må opdele i forskellige tilfælde:

$\mathbf {a=0\land b=0:}$

$(x^{2}=y^{2})\land (x\cdot y=0)\,\Leftrightarrow \,(x=0)\land (y=0)\Leftrightarrow z=0$

$\mathbf {a=0\land b\neq 0:}$

$x^{2}=y^{2}\,\Leftrightarrow \,(x=y)\lor (x=-y)$

$b>0:$ $x$ og $y$ har samme fortegn, dvs. $y=x$:

$2\cdot x^{2}=b$	$\,\Leftrightarrow \,$	$\left(x={\sqrt {\frac {b}{2}}}=y\right)\lor \left(x=-{\sqrt {\frac {b}{2}}}=y\right)$
	$\,\Rightarrow \,$	$\left(z={\sqrt {\frac {b}{2}}}+{\sqrt {\frac {b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)\lor \left(z=-{\sqrt {\frac {b}{2}}}-{\sqrt {\frac {b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)$

$b<0:$ $x$ og $y$ har modsat fortegn, dvs. $y=-x$:

$-2\cdot x^{2}=b$	$\,\Leftrightarrow \,$	$\left(x={\sqrt {\frac {-b}{2}}}=-y\right)\lor \left(x=-{\sqrt {\frac {-b}{2}}}=-y\right)$
	$\,\Rightarrow \,$	$\left(z={\sqrt {\frac {-b}{2}}}-{\sqrt {\frac {-b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)\lor \left(z=-{\sqrt {\frac {-b}{2}}}+{\sqrt {\frac {-b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)$

$\mathbf {a\neq 0\land b=0:}$

$2\cdot x\cdot y=0\,\Rightarrow \,(x=0)\lor (y=0)$.

$a>0:$ Så må $y=0$ og $(x={\sqrt {a}})\lor (x=-{\sqrt {a}})$ dvs. $(z={\sqrt {a}})\lor (z=-{\sqrt {a}})$

$a<0:$ Så må $x=0$ og $(y={\sqrt {-a}})\lor (y=-{\sqrt {-a}})$ dvs. $(z={\sqrt {-a}}\cdot \mathrm {i} )\lor (z=-{\sqrt {-a}}\cdot \mathrm {i} )$

$\mathbf {a\neq 0\land b\neq 0:}$

Da $b\neq 0$, må også $x\neq 0$, så vi kan isolere $y$ i den anden ligning, $y={\frac {b}{2\cdot x}}$, og indsætte dette i den første:

$x^{2}-{\frac {b^{2}}{4\cdot x^{2}}}=a\,\Leftrightarrow \,4\cdot (x^{2})^{2}-4\cdot a\cdot x^{2}-b^{2}=0$.

Denne fjerdegradsligningen er en iklædt andengradsligning med $x^{2}$ som ubekendt. Ligningens diskriminant er

$d=(4\cdot a)^{2}-4\cdot 4\cdot (-b)=16\cdot (a^{2}+b^{2})=16\cdot |c|^{2}$.

Ifølge det forudsatte er $d>0$, så løsningerne er

$x^{2}={\frac {4\cdot a\pm 4\cdot |c|}{8}}={\tfrac {1}{2}}\cdot a\pm {\tfrac {1}{2}}\cdot |c|$.

Da $|c|>a$, bliver højresiden negativ, hvis fortegnet $-$ benyttes. Der er derfor kun én løsning for $x^{2}$ og af den følger $y^{2}$:

${\begin{array}{lcl}x^{2}&=&&&{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)\\y^{2}&=&x^{2}-a&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)\end{array}}$

$x$ og $y$ selv kan være positive eller negative, men ligningen $2\cdot x\cdot y=b$ viser, at deres produkt skal have samme fortegn som $b$. Fortegnet af et reelt tal $x$ er giver ved signum-funktionen, der defineres ved

$\operatorname {sign} (x)={\begin{cases}-1&{\text{ for }}x<0\\\;\;0&{\text{ for }}x=0\\\;\;1&{\text{ for }}x>0\end{cases}}$

Signum-funktionen er implementeret i de fleste programmerinssprog; i dansk Excel er den fordansket til "FORTEGN".

Vi kan nu opskrive ligningens løsning:

$x=+{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)}}>0$	$\quad :\quad$	$y$ skal have samme fortegn som $b$, dvs.
		$y=+\operatorname {sign} (b)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)}}$
$x=-{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)}}<0$	$\quad :\quad$	$y$ skal have modsat fortegn af $b$, dvs.
		$y=-\operatorname {sign} (b)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)}}$

Konklusion:

Da de tre første specialtilfælde også dækkes ind af den generelle formel, er løsningerne i alle situationer givet ved

$z=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)}}+\operatorname {sign} (b)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)}}\cdot \mathrm {i} \right)$

(13)

De to løsninger er hinandens modsatte tal.

Eksempel

(Eks. 6)

$z^{2}=c=-96-40\cdot \mathrm {i}$

Her er $|c|={\sqrt {(-96)^{2}+(-104)^{2}}}={\sqrt {10816}}=104$

$z=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (104-96)}}+(-1)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (104+96)}}\cdot \mathrm {i} \right)=\pm ({\sqrt {4}}-{\sqrt {100}}\cdot \mathrm {i} )=\pm (2-10\cdot \mathrm {i} )$

$(z=2-10\cdot \mathrm {i} )\,\lor \,(z=-2+10\cdot \mathrm {i} )$

Løsning i polære koordinater

Her kan man benytte resultatet fra afsnittet, der behandlede ligningen $z^{n}=c$:

$z={\sqrt {r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {\varphi }{2}}+\pi \cdot p\right)\quad p\in [\;0,\;1\;]$

eller, da addition af $\pi$ betyder en drejning af løsningen på $180^{\circ }$ og dermed et fortegnsskift,

$z=\pm {\sqrt {r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)$

Denne metode giver løsningen ved færre regninger, men har den ulempe, at man skal bruge trigonometriske funktioner både ved bestemmelsen af argumentet $\varphi$ og ved brugen af $\operatorname {cis}$.

Eksempel

(Eks. 7)

Vi betragter igen ligningen

$z^{2}=c=-96-40\cdot \mathrm {i}$

for hvilken $r=|c|=104$ og $\varphi =\arg(c)=-157.380\;135^{\circ }$. Løsningerne bliver derfor

$z=\pm {\sqrt {104}}\cdot (\cos(-78.690\;068)+\sin(-78.690\;068)\cdot \mathrm {i} )$

$z=\pm ({\sqrt {104}}\cdot 0.196\;116-{\sqrt {104}}\cdot 0.980\;581\cdot \mathrm {i} )$

$z=\pm (2-10\cdot \mathrm {i} )$

altså (naturligvis) samme resultat som ved regningen med kartesiske koordinater. Dog spiller afrundingsfejl en større rolle ved denne metode.

Rodsymboler og komplekse tal

For et vilkårligt ikke-negativt reelt tal, $x$, kan man definere tallets kvadratrod, ${\sqrt {x}}$, som det tal, der ganget med sig selv giver $x$:

$\forall \;x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {R} _{-}\;\exists !\;y\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {R} _{-}\;:\;y={\sqrt {x}}\quad \Leftrightarrow \quad y^{2}=x$

Som angivet med eksistens-kvantoren $\exists !$ er kvadratroden entydigt bestemt. Negative tal har ingen reel kvadratrod.

For de komplekse tal stiller sagen sig anderledes. Som vist i et tidligere afsnit, har alle komplekse tal, bortset fra $0$, to forskellige (og modsatte) komplekse kvadratrødder. I eksempel 6 blev det vist, at

$z^{2}=-96-40\cdot \mathrm {i} \quad \Leftrightarrow \quad (z=2-10\cdot \mathrm {i} )\,\lor \,(z=-2+10\cdot \mathrm {i} )$.

Dette kunne også skrives

${\sqrt {-96-40\cdot \mathrm {i} \,}}=\pm (2-10\cdot \mathrm {i} )$,

hvor kvadratrodssymbolet nu bruges til at angive en flertydig størrelse. Men hvis denne notation anvendes på reelle tal, opstår der uheldige skrivemåder som

${\sqrt {25}}=\pm 5\,$

eller endog

$\,{\sqrt {7}}=\pm {\sqrt {7}}$

I denne ligning indeholder venstre side et komplekst, flertydigt kvadratrodssymbol, medens højre side benytter et reelt, entydigt kvadratrodssymbol.

Det er derfor uhensigtsmæssigt at benytte rodsymboler i forbindelse med komplekse tal.

Generel andengradsligning

Den komplekse andengradsligning

$a\cdot z^{2}+b\cdot z+c=0\quad a,b,c\in \mathbb {C} ,\quad a\neq 0$

kan omskrives med nøjagtig den samme fremgangsmåde, som i det reelle tilfælde til

$(2\cdot a\cdot z+b)^{2}=d\equiv b^{2}-4\cdot a\cdot c$

hvor $d$ som i det reelle tilfælde kaldes andengradsligningens diskriminant.

Lad nu $r$ betegne den ene af de to løsninger til ligningen $r^{2}=d$. Som vist i forrige afsnit er den anden løsning det modsatte tal, $-r$ . Andengradsligningen har da de to løsninger

$\left(z={\frac {-b+r}{2\cdot a}}\right)\quad {\text{og}}\quad \left(z={\frac {-b-r}{2\cdot a}}\right)$

(14)

Bemærkning Som vist kan rødder i andengradspolynomier udtrykkes ved hjælp af kvadratrødder. Det viser sig, at bestemmelse af rødder i tredje- og fjerdegradspolynomier også kan udtrykkes ved hjælp af rodsymboler. Men for ligninger af grad 5 eller højere er dette ikke generelt muligt. Dette blev første gang bevist af den norske matematiker Niels Henrik Abel.

Eksempel

(Eks. 8)

Lad os løse den komplekse andengradsligning

$(1-\mathrm {i} )\cdot z^{2}-4\cdot z+9+19\cdot \mathrm {i} =0$.

Vi identificerer

• $a=1-\mathrm {i}$,
• $b=-4$,
• $c=9+19\cdot \mathrm {i}$,

og beregner ligningens diskriminant til

$d=b^{2}-4\cdot a\cdot c=(-4)^{2}-(4-4\cdot \mathrm {i} )\cdot (9+19\cdot \mathrm {i} )=16-36-76\cdot \mathrm {i} +36\cdot \mathrm {i} -76=-96-40\cdot \mathrm {i}$

Løsningerne til ligningen $r^{2}=d$ blev fundet i eksempel 7 og en af dem er

$r=2-10\cdot \mathrm {i}$.

De to rødder bliver derfor

$z_{1}={\frac {-b+r}{2\cdot a}}={\frac {4+2-10\cdot \mathrm {i} }{2-2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {3-5\cdot \mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1+\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}={\frac {8-2\cdot \mathrm {i} }{2}}={\color {ForestGreen}4-\mathrm {i} }$

$z_{2}={\frac {-b-r}{2\cdot a}}={\frac {4-2+10\cdot \mathrm {i} }{2-2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {1+5\cdot \mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1+\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}={\frac {-4+6\cdot \mathrm {i} }{2}}={\color {ForestGreen}-2+3\cdot \mathrm {i} }$.

Komplekse funktioner

Reelle funktioner kan beskrives med en funktionsforskrift $y=f(x)$ og illustreres grafisk i et $(x,y)$ koordinatsystem, hvor $x$-aksen indeholder definitionsmængden og $y$-aksen bruges til billedmængden. Det samme kan ikke gøres med funktioner med komplekse variable, $w=f(z)$, for et komplekst tal optager jo allerede to dimensioner. I stedet kan en kompleks funktion illustreres med to koordinatsystemer, et $z$-system til definitionsmængden og et $w$-system til billedmængden.

Kompleks konjugering

Konjugering blev defineret i afsnittet om elementære regneregler. Ved udregning konstaterer man, at der gælder følgende regler for kompleks konjugering:

• ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\$
• ${\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}\!\$
• $\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$
• $z+{\bar {z}}=2\cdot x$
• $z\cdot {\bar {z}}={\bar {z}}\cdot z=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}$
• ${\overline {z}}={\overline {r\cdot \exp(\varphi }}\cdot \mathrm {i} )=r\cdot \exp(-\varphi \cdot \mathrm {i} )$

Bemærk, at sum og produkt af $z$ og ${\bar {z}}$ er reelle tal.

Kompleks lineær funktion

En kompleks lineær funktion har forskriften

$f(z)=a\cdot z+b,\;a\in \mathbb {C} \in \{0\},\;b\in \mathbb {C}$

(Hvis $a=0$, bliver $f(z)$ en konstant funktion, der afbilder alle punkter i den komplekse plan i det komplekse tal $b$).

Specielt er

• $f(0)=b$
• $f(1)=a+b$
• $f(\mathrm {i} )=a\cdot \mathrm {i} +b$.

Illustration af den komplekse lineære funktion $f(z)=a\cdot z+b$, hvor $a={\sqrt {3}}+\mathrm {i}$ og $b=2+\mathrm {i}$. Et net af enhedskvadrater i $z$-planet afbildes ved $f$ i et andet kvadratisk net i $w$-planet. De tre komplekse tal $0$, $1$ og $\mathrm {i}$ samt afbildningens fikspunkt $z^{*}$ er i $z$-planet markeret med farvede prikker hhv. et sort kryds. Deres billeder i $w$-planet har de samme signaturer. Fikspunktet er defineret ved, at $f(z^{*})=z^{*}$, så det bliver som det eneste på sit oprindelige sted.

Dette illustreres på figuren med funktionen $f(z)=({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )\cdot z+(2+\mathrm {i} )$, der også viser, hvordan et kvadratisk net i $z$-planet afbildes i et strakt, roteret og forskudt kvadratisk net i $w$-planet. Matematisk set er der tale om en ligedannethed.

Vi betragter først to specialtilfælde:

1. $a=1$: Så er $f(z)=z+b$, dvs. funktionen foretager en parallelforskydning med $b$.
2. $b=0$: Så er $f(z)=a\cdot z$. For kortheds skyld kalder vi funktionsværdien for $w$, $w=a\cdot z$.

Vi har da

$|w|=|a|\cdot |z|$: Multiplikation ud fra (0, 0) med $|a|$.

$\arg(w)=\arg(a)+\arg(z)$: Rotation omkring (0,0) med $\varphi =\arg(a)$.

Herefter ser vi på det generelle tilfælde, hvor $a\neq 1$:

Funktionen har da netop et fikspunkt $z^{*}$ defineret ved, at $f(z^{*})=z^{*}$:

$a\cdot z^{*}+b=z^{*}\quad \Leftrightarrow \quad b=(1-a)\cdot z^{*}\quad \Leftrightarrow \quad z^{*}={\frac {b}{1-a}}$.

Betegner vi som ovenfor funktionsværdien med $w$, kan vi omskrive således:

$w=a\cdot z+b=a\cdot (z-z^{*})+a\cdot z^{*}+b=a\cdot (z-z^{*})+z^{*}$

$w-z^{*}=a\cdot (z-z^{*})$

Heraf fremgår, at $f$ strækker og roterer som omtalt ovenover, men gør det centreret på fikspunktet $z^{*}$. Det orange kvadrat, som vises i $z$-planen på figuren, afbildes ved $f$ i det orange kvadrat i $w$-planet. Det sker ved

1. en strækning ud fra $z^{*}$ med det lineære forhold $|a|={\sqrt {({\sqrt {3}})^{2}+1^{2}}}=2$
2. en rotation omkring $z^{*}$ på $\arg(z)=\arctan \left(1/{\sqrt {3}}\right)=\pi /6=30^{\circ }$

Eksempel

(Eks. 9)

Beregning af et fikspunkt $z^{*}$

For den komplekse lineære funktion på figuren er $a={\sqrt {3}}+\mathrm {i}$ og $b=2+\mathrm {i}$. Heraf følger, at

$z^{*}$	$\,=\,$	${\frac {b}{1-a}}={\frac {2+\mathrm {i} }{1-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}={\frac {2+\mathrm {i} }{1-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{1-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }}={\frac {2-2\cdot {\sqrt {3}}+2\cdot \mathrm {i} +\mathrm {i} -{\sqrt {3}}\cdot \mathrm {i} -1}{1+3-2\cdot {\sqrt {3}}+1}}$
	$\,=\,$	${\frac {(1-2\cdot {\sqrt {3}})+(3-{\sqrt {3}})\cdot \mathrm {i} }{5-2\cdot {\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {5+2\cdot {\sqrt {3}}}{5+2\cdot {\sqrt {3}}}}$
	$\,=\,$	${\frac {(5+2\cdot {\sqrt {3}}-10\cdot {\sqrt {3}}-12)+(15+6\cdot {\sqrt {3}}-5\cdot {\sqrt {3}}-6)}{25-12}}$
	$\,=\,$	${\color {ForestGreen}{\frac {-7-8\cdot {\sqrt {3}}}{13}}+{\frac {9+{\sqrt {3}}}{13}}\cdot \mathrm {i} }\approx -1.604\,339+0.825\,542\cdot \mathrm {i}$

Kompleks eksponentialfunktion

Den reelle eksponentialfunktion $\mathrm {exp}$ er defineret ved, at dens differentialkvotient er lig funktionen selv, altså

$\mathrm {exp} (x)'=\mathrm {exp} (x)$

Som konsekvens heraf er

$\exp(a\cdot x)'=a\cdot \mathrm {exp} (x)$

Desuden opfylder $\mathrm {exp}$ funktionalligningen

$\mathrm {exp} (x+y)=\mathrm {exp} (x)\cdot \mathrm {exp} (y)$

Eksponentialfunktionen med imaginært argument

Med baggrund i ovenstående resultat indfører man følgende definition:

Definition:  Eksponentialfunktionen med et imaginært argument defineres ved forskriften  $\exp(x\cdot \mathrm {i} )=\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R}$

At denne definition er fornuftig bestyrkes af nedenstående egenskaber:

$\exp(x\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(y\cdot \mathrm {i} )$	$\,=\,$	$(\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} )\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )$		Ifølge definitionen
	$\,=\,$	$(\cos(x)\cdot \cos(y)-\sin(x)\cdot \sin(y))$
	$\,+\,$	$(\cos(x)\cdot \sin(y)+\sin(x)\cdot \cos(y))\cdot \mathrm {i} )$		Ifølge parentesregneregler
	$\,=\,$	$\cos(x+y)+\sin(x+y)\cdot \mathrm {i}$		Ifølge additionsformler for $\cos$ og $\sin$
	$\,=\,$	$\exp((x+y)\cdot \mathrm {i} )$		Ifølge definitionen

Eksponentialfunktionens funktionalligning, $\exp(p+q)=\exp(p)\cdot \exp(q)$, er dermed også opfyldt for imaginære argumenter.

De elementære funktioner $\sin$, $\cos$ og $\exp$ har følgende rækkeudviklinger gældende for alle $x\in \mathbb {R}$

$\sin(x)=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+...$

$\cos(x)=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+...$

$\exp(x)=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{x^{5} \over 5!}+...$

Hvis vi ønsker at kunne benytte disse også for komplekse tal, må der (da $\mathrm {i} ^{2}=-1$!) gælde at

$\exp(x\cdot \mathrm {i} )$	$\,=\,$	$1+{x \over 1!}\cdot \mathrm {i} -{x^{2} \over 2!}-{x^{3} \over 3!}\cdot \mathrm {i} +{x^{4} \over 4!}+{x^{5} \over 5!}\cdot \mathrm {i} ...$
	$\,=\,$	$\left(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}+...\right)+\left({x \over 1!}-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}...\right)\cdot \mathrm {i}$
	$\,=\,$	$\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i}$
	$\,=\,$	$\mathrm {cis} (x)$

i overensstemmelse med ovenstående resultat.

Eksponentialfunktionen med komplekst argument

Vi ønsker, at funktionalligningen gældende for reel $\exp$ skal gælde generelt:

$\exp(x+y\cdot \mathrm {i} )=\exp(x)\cdot \exp(y\cdot \mathrm {i} )=\exp(x)\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )$,

hvilket fører til følgende definition af $\exp$ for et vilkårligt komplekst tal $z$:

Definition:   Eksponentialfunktionen med et komplekst argument defineres ved forskriften   $\exp(z)=\exp(x+y\cdot \mathrm {i} )=\exp(x)\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )$

I nogle fremstillinger af de komplkse tal vælger man i stedet at definere $\exp(z)$ som den ovenfor viste uendelige sum, altså

$\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+...$

Men det kræver et større forarbejde at vise, at denne sum er veldefineret, dvs. at den konvergerer for alle $z\in \mathbb {C}$.

Egenskaber for exp

Funktionalligningen for eksponentialfunktionen $\exp$ kendt fra de reelle tal $\mathbb {R}$, forbliver gyldig ved udvidelsen til de komplekse tal $\mathbb {C}$, dvs. der gælder

$\exp(z+w)=\exp(z)\cdot \exp(w)$ for alle $z,w\in \mathbb {C}$

Af definitionen fremgår også, at

$\exp(z)\neq 0$ for alle $z\in \mathbb {C}$

Udregningen

$\exp(z+2\cdot \pi \cdot \mathrm {i} )$	$\,=\,$	$\exp(z)\cdot \exp(2\cdot \pi \cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$\exp(z)\cdot (\cos(2\cdot \pi )+\sin(2\cdot \pi )\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$\exp(z)\cdot (1+0\cdot \mathrm {i} )=\exp(z)$

viser, at $\exp(z)$ er periodisk med en imaginær periode på $2\cdot \pi \cdot \mathrm {i}$. Geometrisk betyder det, at alle komplekse tal, som i den komplekse talplan ligger på en linje parallel med den imaginære akse og med en indbyrdes afstand på $2\cdot \pi$ ved $\exp$ afbildes i det samme tal. Med andre ord er $\exp$ ikke injektiv og har derfor ikke nogen invers funktion.

Den komplekse funktion $\exp$ afbilder enhver af de grå striber $S_{n},n\in \mathbb {Z} ,$ med højden $2\cdot \pi$ på den komplekse plan. Komplekse tal i $z$-planet med en indbyrdes forskel på $2\cdot \pi \cdot \mathrm {i}$ afbildes som vist med pile i samme punkt i $w$-planet. De to pile tegnet med cyan og magenta farve viser, hvis de vendes om, hvorden den komplekse logaritmefunktion $\operatorname {Log}$ afbilder komplekse tal ind i striben $S_{0}$.

Illustrationen viser med grå farver strimler med en bredde på $2\cdot \pi$. Strimlerne $S_{n}$ karakteriseres med et helt tal $n$ og defineres som

$S_{n}=\{z=x+y\cdot \mathrm {i} \,|\,(2\cdot n-1)\cdot \pi \,\leqq \,\mathrm {Im} \,(z)\,<\,(2\cdot n+1)\cdot \pi \}\quad n\in \mathbb {N}$

Når man vil undersøge, hvordan $\exp$ afbilder $z$-planet ind i $w$-planet, kan man derfor begrænse sig til en strimmel af bredden $2\cdot \pi$, for eksempel strimlen

$S_{0}=\{x+y\cdot \mathrm {i} \,|\,-\pi \,\leqq y\,<\,+\pi \}$

Linjer i denne strimmel, som er paralelle med den reelle akse og som har afstanden $y^{*}$ (regnet med fortegn), kan beskrives med parameterfremstillingen

$z=t+y^{*}\cdot \mathrm {i} \quad t\in \mathbb {R}$.

Et punkt $z$ på linjen afbildes ved $\exp$ i punktet

$w=\exp(z)=\cos(y^{*})\cdot \exp(t)+\sin(y^{*})\cdot \exp(t)$.

Når parameteren $t$ gennemløber intervallet $]\,-\infty ;\infty \,[$, gennemløber billedpunktet en åben halvlinie gående ud fra $(0,\,0)$ under vinklen $y^{*}$.

Liniestykker i denne strimmel, som er paralelle med den imaginære akse og som har afstanden $x^{*}$ (regnet med fortegn), kan beskrives med parameterfremstillingen

$z=x^{*}+t\cdot \mathrm {i} \quad t\in [\,-\pi ;\pi [$.

Et punkt $z$ på liniestykket afbildes ved $\exp$ i punktet

$w=\exp(z)=\exp(x^{*})\cdot \cos(t)+\exp(x^{*})\cdot \sin(t)$.

Når parameteren $t$ gennemløber intervallet $[\,-\pi ;\pi \,[$, gennemløber billedpunktet en cirkel med centrum i $(0,\,0)$ og radius $\exp(x^{*})$. Disse forhold illustreres på nedenstående figur.

Illustration af den komplekse eksponentialfunktions afbildning af det komplekse plan, $w=\exp(z)$. Til venstre: $z$-planet med de tre komplekse tal 0, 1, og $\mathrm {i}$, et kvadratisk net med maskestørrelse 1, en del af den vandrette stribe $-\pi <\operatorname {Im} (z)<+\pi$ (markeret med en lysegrå baggrund) samt to rektangler med grøn og magenta farve. Til højre: Exp-billederne af disse objekter: Vandrette linjer afbildes i halvlinier, som udgår fra $0$, lodrette i cirkler med centrum i $0$. De danner kurveskarer, som lokalt står vinkelret på hinanden. Tallet $w=0$ er som det eneste ikke et billedpunkt.

Kompleks logaritmefunktion

Som vist i forrige afsnit er der komplekse eksponentialfunktion $\exp$ ikke injektiv, idet den afbilder enhver af striberne $S_{i}$ ind i de komplekse tal. Den har derfor ikke nogen invers (omvendt) funktion. Men hvis man begrænser dens definitionsmængde til én af disse striber, bliver den invertérbar. Hvis man begrænser sig til hovedstriben

$S_{0}\equiv \{z|-\pi \leqq \mathrm {Im} \,(z))<\pi \}$

kan man regne sig frem til en forskrift for den inverse funktion. Betegner vi den begrænsede udgave af eksponentialfunktionen med $\exp _{0}$ og dens inverse funktion med $\operatorname {Log}$, har vi

$w=\exp _{0}(z)\quad \Leftrightarrow \quad \operatorname {Log} (w)=z$

eller på koordinatform

$u+v\cdot \mathrm {i} =\exp _{0}(x+y\cdot \mathrm {i} )\quad \Leftrightarrow \quad \operatorname {Log} (u+v\cdot \mathrm {i} )=x+y\cdot \mathrm {i}$

Vi bestemmer $x$ og $y$:

$u+v\cdot \mathrm {i} =\exp(x)\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )\quad \Leftrightarrow \quad (u=\exp(x)\cdot \cos(y))\land (v=\exp(x)\cdot \sin(y))$

$|w^{2}|=u^{2}+v^{2}=\exp(2\cdot x)\quad \Leftrightarrow \quad \exp(x)=|w|\quad \Leftrightarrow \quad x=\ln(|w|)$

$y=\arg(w)\in [-\pi ;\,\pi [$

Forskriften for $\operatorname {Log}$, der kaldes logaritmens hovedværdi, er derfor:

$\operatorname {Log} (z)=\ln(|w|)+\arg(w)\cdot \mathrm {i}$

(15)

Eksempler

(Eks. 10)

• $\operatorname {Log} (\mathrm {i} )=\ln(1)+\arg(\mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} ={\color {ForestGreen}{\tfrac {\pi }{2}}\cdot \mathrm {i} }$
• $\operatorname {Log} (4+6\cdot \mathrm {i} )=\ln(|4+6\cdot \mathrm {i} |)+\arg(4+6\cdot \mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} ={\color {ForestGreen}\ln({\sqrt {52}})+\arctan(6/4)\cdot \mathrm {i} }\approx 1.975\,622+0.982\,794\mathrm {i}$
• $\operatorname {Log} (1-5\cdot \mathrm {i} )=\ln(|1-5\cdot \mathrm {i} |)+\arg(1-5\cdot \mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} ={\color {ForestGreen}\ln({\sqrt {26}})+\arctan(-5)\cdot \mathrm {i} }\approx 1.629\,048-1.373\,008\mathrm {i}$

De to sidste eksempler kan ses illustreret på ovenstående figur med flertydighed for $\exp$: Hvis retningen af de to afbildningspile tegnet med cyan og magenta farve vendes om, viser de, hvordan $\operatorname {Log}$ afbilder netop de to tal $4+6\cdot \mathrm {i}$ og $1-5\cdot \mathrm {i}$ ind i $S_{0}$.

Komplekse trigonometriske funktioner

Vi har defineret, at

$\exp(x\cdot \mathrm {i} )=\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R}$

Da $\cos$ er en lige og $\sin$ en ulige funktion, følger heraf, at ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

$\exp(-x\cdot \mathrm {i} )=\cos(x)-\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R}$

Addition af disse to ligninger fører til, at

$\cos(x)={\frac {\exp(x\cdot \mathrm {i} )+\exp(-x\cdot \mathrm {i} )}{2}}$

Subtraktion giver

$\sin(x)={\frac {\exp(x\cdot \mathrm {i} )-\exp(-x\cdot \mathrm {i} )}{2\cdot \mathrm {i} }}$

Vi udvider definitionsmængden til $\mathbb {C}$ ved at definere

$\cos(z)={\frac {\exp(z\cdot \mathrm {i} )+\exp(-z\cdot \mathrm {i} )}{2}}\quad z\in \mathbb {C}$

(16)

$\sin(z)={\frac {\exp(z\cdot \mathrm {i} )-\exp(-z\cdot \mathrm {i} )}{2\cdot \mathrm {i} }}\quad z\in \mathbb {C}$

(17)

Disse udtryk blev første gang udledt af den schweiziskse matematiker Leonhard Euler i 1748, og de kaldes derfor Eulers formler .

For reelle tal er $\cos$ og $\sin$ periodiske med perioden $2\cdot \pi$. Denne egenskab bevares ved udvidelsen til de komplekse tal:

${\begin{array}{lcl}\cos(z+2\cdot \pi )&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\exp((z+2\cdot \pi )\cdot \mathrm {i} )+\exp(-(z+2\cdot \pi )\cdot \mathrm {i} )\\&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\exp(z\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(2\cdot \pi \cdot \mathrm {i} ))+\exp(-z\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(-2\cdot \pi \cdot \mathrm {i} ))\\&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\exp(z\cdot \mathrm {i} ))+\exp(-z\cdot \mathrm {i} )\\&=&\cos(z)\end{array}}$

og tilsvarende for $\sin$.

De øvrige trigonometriske funktioner defineres som i det reelle tilfælde. For eksempel er tangens og cotangens fastlagt ved

$\tan(z)={\frac {\sin(z)}{\cos(z)}}\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+p\cdot \pi \,|\,p\in \mathbb {Z} \}$

$\cot(z)={\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{p\cdot \pi \,|\,p\in \mathbb {Z} \}$

Eksempler

(Eks. 11)

$\cos(\mathrm {i} )={\frac {\exp(-1)+\exp(+1)}{2}}={\color {ForestGreen}{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {e} +{\mathrm {e} }^{-1})}\approx 1.543\,081$

$\sin(\mathrm {i} )={\frac {\exp(-1)-\exp(+1)}{2\cdot \mathrm {i} }}={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\mathrm {e} }^{-1}-\mathrm {e} )\cdot (-\mathrm {i} )={\color {ForestGreen}{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {e} -{\mathrm {e} }^{-1})\cdot \mathrm {i} }\approx 1.175\,201\cdot \mathrm {i}$

$\tan(\mathrm {i} )={\frac {\mathrm {e} -{\mathrm {e} }^{-1}}{\mathrm {e} +{\mathrm {e} }^{-1}}}\cdot \mathrm {i} ={\color {ForestGreen}{\frac {{\mathrm {e} }^{2}-1}{{\mathrm {e} }^{2}+1}}\cdot \mathrm {i} }\approx 0.761\,594\cdot \mathrm {i}$

Det første af de tre tal er rent reelt, de to andre rent imaginære.

Figuren nedenfor illustrerer, hvordan den komplekse cosinus-funktion afbilder den komplekse plan ind i den komplekse plan.

Illustration af den komplekse cosinus-funktions afbildning af det komplekse plan, $w=\cos(z)$. Til venstre: $z$-planet med de fire komplekse tal $0$, $1$, $\mathrm {i}$ og $1+\mathrm {i}$, et kvadratisk net med maskestørrelse 0.5, en del af den lodrette stribe $-\pi <\operatorname {Re} (z)<+\pi$ (markeret med en lysegrå baggrund) samt to rektangler med grøn og cyan farve. Til højre: Cosinus-billedet af disse objekter: Vandrette linjer afbildes i ellipser, lodrette i hyperbler, der alle har brændpunkter i $-1$ og $1$. De danner kurveskarer, som lokalt står vinkelret på hinanden.

Komplekse hyperbolske funktioner

Funktionerne defineres som i det reelle tilfælde:

$\cosh(z)={\frac {\exp(z)+\exp(-z)}{2}}\qquad$ Kompleks hyperbolsk cosinus

$\sinh(z)={\frac {\exp(z)-\exp(-z)}{2}}\qquad$ Kompleks hyperbolsk sinus

Ved at sammenligne med definitionerne på hyperbolsk cosinus og sinus, ser man, at der i de komplekse tals verden er der en enkel sammenhæng mellem trigonometriske og hyperbolske funktioner:

${\begin{array}{lcl}\cosh(z)&=&\cos \left({\frac {z}{\mathrm {i} }}\right)&\quad \Leftrightarrow \quad &\cos(z)&=&\cosh(z\cdot \mathrm {i} )\\\sinh(z)&=&\mathrm {i} \cdot \sin \left({\frac {z}{\mathrm {i} }}\right)&\quad \Leftrightarrow \quad &\sin(z)&=&-\mathrm {i} \cdot \sinh(z\cdot \mathrm {i} )\end{array}}$

Formler for komplekse trigonometriske og hyperbolske funktioner

Man kan udtrykke de komplekse trigonometriske og hyperbolske funktioners real- og imaginærdele ved hjælp af de tilsvarende reelle funktioner:

${\begin{array}{lcl}\cos(z)&=&\cos(x+y\cdot \mathrm {i} )\\&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\exp((x+y\cdot \mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} )+\exp(-(x+y\cdot \mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} ))\\&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\exp(-y+x\cdot \mathrm {i} )+\exp(y-x\cdot \mathrm {i} ))\\&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\exp(x\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(-y)+\exp(-x\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(y))\\&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot ((\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(-y)+(\cos(-x)+\sin(-x)\cdot \mathrm {i} ))\cdot \exp(y))\\&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot ((\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(-y)+(\cos(x)-\sin(x)\cdot \mathrm {i} ))\cdot \exp(y))\\&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot \cos(x)\cdot (\exp(-y)+\exp(y))+{\tfrac {1}{2}}\cdot \sin(x)\cdot (\exp(-y)-\exp(y))\cdot \mathrm {i} \\&=&\cos(x)\cdot \cosh(y)-\sin(x)\cdot \sinh(y)\cdot \mathrm {i} \\\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}\sin(z)&=&\sin(x+y\cdot \mathrm {i} )\\&=&{\tfrac {1}{2\cdot \mathrm {i} }}\cdot (\exp((x+y\cdot \mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} )-\exp(-(x+y\cdot \mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} ))\\&=&{\tfrac {1}{2\cdot \mathrm {i} }}\cdot (\exp(-y+x\cdot \mathrm {i} )-\exp(y-x\cdot \mathrm {i} ))\\&=&{\tfrac {1}{2\cdot \mathrm {i} }}\cdot (\exp(x\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(-y)-\exp(-x\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(y))\\&=&{\tfrac {1}{2\cdot \mathrm {i} }}\cdot ((\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(-y)-(\cos(-x)+\sin(-x)\cdot \mathrm {i} ))\cdot \exp(y))\\&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot ((-\cos(x)\cdot \mathrm {i} +\sin(x))\cdot \exp(-y)-(-\cos(x)\cdot \mathrm {i} -\sin(x)))\cdot \exp(y))\\&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot \cos(x)\cdot (-\exp(-y)+\exp(y))\cdot \mathrm {i} +{\tfrac {1}{2}}\cdot \sin(x)\cdot (\exp(-y)+\exp(y))\\&=&\sin(x)\cdot \cosh(y)+\cos(x)\cdot \sinh(y)\cdot \mathrm {i} \\\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}\cosh(z)&=&\cos \left({\frac {z}{\mathrm {i} }}\right)=\cos \left({\frac {x+y\cdot \mathrm {i} }{\mathrm {i} }}\right)=\cos(y-x\cdot \mathrm {i} )\\&=&\cos(y)\cdot \cosh(x)+\sin(y)\cdot \sinh(x)\cdot \mathrm {i} \\\end{array}}$