Komplekse tal

$\mathbb {C}$

Mængden af komplekse tal
betegnes med bogstavet C
med dobbeltstreg.

Et komplekst tal $z=a+b\cdot i$ kan illustreres med et punkt (sort prik) i et talplan, hvor realdelen $a$ afsættes ud af førsteaksen (Re) og imaginærdelen $b$ afsættes op ad andenaksen (Im). Beliggenheden af de tre komplekse tal $0$, $1$ og $\mathrm {i}$ er angivet med farvede prikker.

Ved et komplekst tal forstås en størrelse $z$, som kan skrives på formen

$z=a+b\cdot \mathrm {i} ,\quad a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R}$

hvor $a$ og $b$ som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor $\mathrm {i}$ er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben

$\mathrm {i} ^{2}=-1$

Da det for ethvert reelt tal $a$ gælder, at $a^{2}\geqq 0$, kan $\mathrm {i}$ ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed.

Mængden af komplekse tal betegnes $\mathbb {C}$ og kan beskrives med mængdebyggeren

$\mathbb {C} \equiv \{a+b\cdot \mathrm {i} \;|\;(a\in \mathbb {R} )\land (b\in \mathbb {R} )\}$.

De to dele af det komplekse tal $z$ kaldes realdel og imaginærdel:

Realdelen af $z$:		$\operatorname {Re} (z)=a$
Imaginærdelen af $z$:		$\operatorname {Im} (z)=b$

Bemærk, at realdel og imaginærdel er reelle tal.

En løs beskrivelse af forskellen på reelle og komplekse tal er følgende:

• De reelle tal kan opfattes som punkter på en tallinje. Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.
• De komplekse tal kan opfattes som punkter i et talplan. Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, medens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.

En stringent definition af de komplekse tal $\mathbb {C}$ og den imaginære enhed $\mathrm {i}$ gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.

Notation

I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne $z=a+b\cdot \mathrm {i}$ og $z=a+\mathrm {i} \cdot b$ eller der veksles frit mellem dem. For at fremhæve den imaginære enhed $\mathrm {i}$, anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering.

Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille i til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen j for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.

Her benyttes notationen $z=a+b\cdot \mathrm {i}$.

Inden for de reelle tal $\mathbb {R}$ er der tradition for at betegne variable med bogstaverne $x$ og $y$; inden for de komplekse tal $\mathbb {C}$ anvendes traditionelt variabelnavne som $z$ og $w$.

Entydighed

Fremstilling af et komplekst tal på formen $z=a+b\cdot \mathrm {i}$ er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger:

$z=a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i}$   og   $z=a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i}$

Man kan da omskrive således:

$a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} =a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i}$

hvoraf

$a_{1}-a_{2}=(b_{2}-b_{1})\cdot \mathrm {i}$

Antag at $b_{2}\neq b_{1}$. Ved division fås da, at

${\frac {a_{1}-a_{2}}{b_{2}-b_{1}}}=\mathrm {i}$

Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen $b_{2}\neq b_{1}$ fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs. $b_{2}=b_{1}$. Videre følger, at $a_{1}-a_{2}=(b_{2}-b_{1})\cdot \mathrm {i} =0$, så også $a_{2}=a_{1}$. De to femstillinger er altså ens.

Elementære regneregler for komplekse tal

Summen af to komplekse tal $z_{1}$ og $z_{2}$ fås ved at addere deres real- og imaginærdele og kan derfor illustreres med det viste parallelogram.

Reglerne er helt de samme som for reelle tal, blot skal man erindre, at $\mathrm {i} ^{2}=-1$.

Vi betragter to komplekse tal,

$z_{1}=a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} \quad$ og $\quad z_{2}=a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i}$.

Kompleks addition:

$z_{1}+z_{2}$	$\,=\,$	$(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )+(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\cdot \mathrm {i}$

(1)

Kompleks subtraktion:

$z_{1}-z_{2}$	$\,=\,$	$(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )-(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})\cdot \mathrm {i}$

(2)

Kompleks multiplikation:

$z_{1}\cdot z_{2}$	$\,=\,$	$(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$a_{1}\cdot a_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot \mathrm {i} +b_{1}\cdot \mathrm {i} \cdot a_{2}+b_{1}\cdot \mathrm {i} \cdot b_{2}\cdot \mathrm {i}$
	$\,=\,$	$(a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2})+(a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})\cdot \mathrm {i}$

(3)

Kompleks division:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$	$\,=\,$	${\frac {a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} }{a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }}={\frac {(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\cdot \mathrm {i} )}{(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\cdot \mathrm {i} )}}$
	$\,=\,$	${\frac {(a_{1}\cdot a_{2}+b_{1}\cdot b_{2})+(a_{2}\cdot b_{1}-a_{1}\cdot b_{2})\cdot \mathrm {i} }{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

(4)

Kompleks konjugering:

${\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i}$

(5)

Det læses "z-streg". Bemærk, at divisionen udføres ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal.

Eksempler

(Eks. 1)

Elementær regning med komplekse tal

• $(5-4\cdot \mathrm {i} )+(-3-2\cdot \mathrm {i} )={\color {ForestGreen}2-6\cdot \mathrm {i} }$

• $(2+\mathrm {i} )\cdot (3-4\cdot \mathrm {i} )=6-8\cdot \mathrm {i} +3\cdot \mathrm {i} +4={\color {ForestGreen}10-5\cdot \mathrm {i} }$

• ${\frac {3-4\cdot \mathrm {i} }{5+2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {(3-4\cdot \mathrm {i} )\cdot (5-2\cdot \mathrm {i} )}{(5+2\cdot \mathrm {i} )\cdot (5-2\cdot \mathrm {i} )}}={\frac {15-20\cdot \mathrm {i} -6\cdot \mathrm {i} +8\cdot {\mathrm {i} }^{2}}{25-4\cdot {\mathrm {i} }^{2}}}={\frac {7-26\cdot \mathrm {i} }{29}}={\color {ForestGreen}\textstyle {\frac {7}{29}}-{\frac {26}{29}}\cdot \mathrm {i} }$

• ${\overline {2-7\cdot \mathrm {i} }}={\color {ForestGreen}2+7\cdot \mathrm {i} }$

• ${\overline {7\cdot \mathrm {i} -2}}={\color {ForestGreen}-2-7\cdot \mathrm {i} }$

• ${(a+b\cdot \mathrm {i} )}^{2}=(a+b\cdot \mathrm {i} )\cdot (a+b\cdot \mathrm {i} )={\color {ForestGreen}a^{2}-b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \mathrm {i} }$

• $(a+b\cdot \mathrm {i} )\cdot (a-b\cdot \mathrm {i} )=a^{2}-{(b\cdot \mathrm {i} )}^{2}={\color {ForestGreen}a^{2}+b^{2}}$

De to sidste eksempler viser beregninger med to af kvadratsætningerne.

Definition af de komplekse tals legeme

Tallegemet $\mathbb {R}$

Mængden af reelle tal $\mathbb {R}$ er et eksempel på den matematiske struktur, som kaldes et (tal)legeme. Det betyder, at der findes to kompositionsregler kaldet addition (skrevet med symbolet '$+$') og multiplikation (skrevet med symbolet '$\cdot$'), som opfylder følgende aksiomer, der kort beskrives ved hjælp af al-kvantor $\forall$ og eksistens-kvantor $\exists$:

• ($\mathbb {R}$, +) er en kommutativ gruppe:
  • Den associative lov er opfyldt:

  $\forall \;a,b\in \mathbb {R} :(a+b)+c=a+(b+c)$.

  • Den kommutative lov er opfyldt:

  $\forall \;a,b\in \mathbb {R} :a+b=b+a$.

  • Der findes et neutralt element for addition eller nulelement, nemlig tallet $0$:

  $\forall \;a\in \mathbb {R} :a+0=0+a=a$.

  • Alle elementer er invertible, dvs. har et modsat element:

  $\forall \;a\in \mathbb {R} \;\exists \;a^{*}\in \mathbb {R} :a+a^{*}=0$;

  det modsatte element til $a$ betegnes $-a$, $a^{*}=-a$.

• ($\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$ er en kommutativ gruppe:
  • Den associative lov er opfyldt:

  $\forall \;a,b\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

  • Den kommutative lov er opfyldt:

  $\forall \;a,b\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot b=b\cdot a$.

  • Der findes et neutralt element for multiplikation eller et-element, nemlig tallet $1$:

  $\forall \;a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot 1=1\cdot a=a$.

  • Alle elementer er invertible, dvs. har et reciprokt element:

  $\forall \;a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\;\exists \;a^{**}\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot a^{**}=1$;

  det reciprokke element til $a$ betegnes $1/a$ eller $a^{-1}$, $a^{**}=1/a$.

• Den distibutive lov er opfyldt, dvs.

  $\forall \;a,b,c\in \mathbb {R} :a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Tallegemet $\mathbb {C}$

Mængden af komplekse tal $\mathbb {C}$ konstrueres ved at betragte mængden af reelle talpar $(a,b)$ og heri definere følgende to kompositionsregler:

Addition:		$(a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})$
Multiplikation:		$(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})=(a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})$

Talparret $(0,0)$ er nul-element og talparret $(1,0)$ er ét-element:

$(a_{1},a_{2})+(0,0)=(a_{1}+0,a_{2}+0)=(a_{1},a_{2})$

$(a_{1},a_{2})\cdot (1,0)=(a_{1}\cdot 1-a_{2}\cdot 0,a_{1}\cdot 0+a_{2}\cdot 1)=(a_{1},a_{2})$

Man kan ved selvsyn kontrollere, at alle aksiomerne omtalt i forrige afsnit er opfyldt. Her følger et par eksempler:

Multiplikation er kommutativ fordi multiplikation (og addition) af reelle tal er det:

$(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})$	$\,=\,$	$(a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})$
	$\,=\,$	$(b_{1}\cdot a_{1}-b_{2}\cdot a_{2},b_{1}\cdot a_{2}+b_{2}\cdot a_{1})$
	$\,=\,$	$(b_{1},b_{2})\cdot (a_{1},a_{2})$

Multiplikation er associativ, da udregning af de to sider giver samme resultat:

Venstre side:

$(a_{1},a_{2})\cdot ((b_{1},b_{2})\cdot (c_{1},c_{2}))$	$\,=\,$	$(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1}\cdot c_{1}-b_{2}\cdot c_{2},b_{1}\cdot c_{2}+b_{2}\cdot c_{1})0$
	$\,=\,$	$(a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{1}$
	$\,,\,$	$a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{1}+a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2})$

Højre side:

$((a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2}))\cdot (c_{1},c_{2})$	$\,=\,$	$(a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})\cdot (c_{1},c_{2})$
	$\,=\,$	$(a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{1}$
	$\,,\,$	$a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{1}+a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2})$

De to resultater er ens.

Den associative lov vises ved tilsvarende (trælsomme) udregninger.

Modsat element Åbenbart er det modsatte element til $(a_{1},a_{2})$ elementet $(-a_{1},-a_{2})$.

Reciprokt element Lad $(a_{1},a_{2})$ være et element forskelligt fra $(0,0)$. Vi skal vise, at der findes et element $(x_{1},x_{2})$ så

$(a_{1},a_{2})\cdot (x_{1},x_{2})=(1,0)$

Med anvendelse af produktdefinitionen fører dette til ligningssystemet

${\Bigg \{}{\begin{matrix}{a_{1}\cdot x_{1}-a_{2}\cdot x_{2}=1}\\{a_{2}\cdot x_{1}+a_{1}\cdot x_{2}=0}\end{matrix}}$

der har determinanten $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}$, som er et positivt tal. Ligningssystemet har derfor netop én løsning

$(x_{1},x_{2})={\begin{pmatrix}{\frac {\begin{vmatrix}1&-a_{2}\\0&a_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&-a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{vmatrix}}},{\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&1\\a_{2}&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&-a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{vmatrix}}}\end{pmatrix}}={\bigg (}{\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}},{\frac {-a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}{\bigg )}$

Det reciprokke element er derfor entydigt bestemt til

${(a_{1},a_{2})}^{-1}=\left({\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}},-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}\right)$

(6)

Eksempel

(Eks. 2)

Det reciprokke tal til $(a_{1},a_{2})=({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})$ er

${(a_{1},a_{2})}^{-1}=\left({\frac {\tfrac {1}{2}}{{\tfrac {1}{2}}^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}},-{\frac {-{\tfrac {1}{2}}}{{\tfrac {1}{2}}^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)=\left({\frac {\tfrac {1}{2}}{2\cdot {\tfrac {1}{4}}}},{\frac {\tfrac {1}{2}}{2\cdot {\tfrac {1}{4}}}}\right)=(1,1)$

Indlejring af de reelle tal $\mathbb {R}$ i de komplekse tal $\mathbb {C}$

Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. Reglerne for addition og multiplikation lyder da

Addition:		$(a,0)+(b,0)=(a+b,0)$
Multiplikation:		$(a,0)\cdot (b,0)=(a\cdot b-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot b)=(a\cdot b,0)$
Reciprok værdi:		${(a,0)}^{-1}=\left({\frac {a}{a^{2}+0}},-{\frac {0}{a^{2}+0}}\right)=(a^{-1},0)$

På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal $(a,0)$ med det reelle tal $a$, og man siger, at mængden $\mathbb {R}$ er indlejret i $\mathbb {C}$ eller er en ægte delmængde af $\mathbb {C}$.

Medens de reelle tal er en ordnet mængde, dvs. for etvert talpar $(a,b)$ gælder, at enten er $a<b$ eller $a=b$ eller $a>b$, så gælder intet tilsvarende for komplekse tal; man kan ikke om to givne forskellige komplekse tal sige, at det ene er større end eller mindre end det andet.

Den imaginære enhed i

Ifølge produktreglen gælder om det komplekse tal $(0,1)$ at

$(0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1-1\cdot 0)=(-1,0)$

Det komplekse tal $(0,1)$ kaldes af historiske grunde den imaginære enhed og betegnes med $\mathrm {i}$:

$\mathrm {i} \equiv (0,1)$

(7)

Da man kan identificere $(-1,0)$ med $-1$, når vi frem til ligningen

$\mathrm {i} ^{2}=-1$

Et vilkårligt komplekst tal $z=(a,b)$ kan nu skrives på formen

$z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)\cdot (0,1)$

eller kort

$z=a+b\cdot \mathrm {i}$

(8)

Introduktionen af den imaginære enhed medfører en skrivemåde for komplekse tal, som er mere praktisk anvendelig end den oprindelige definition med talpar og kompositionsregler. Eksempelvis er

$z\cdot \mathrm {i} =a\cdot \mathrm {i} +b\cdot {\mathrm {i} }^{2}=-b+a\cdot \mathrm {i}$.

Kartesisk og polær beskrivelse af komplekse tal

Kartesisk beskrivelse: Kompleks talplan

Figuren viser et komplekst tal $z$ og dets konjugerede ${\bar {z}}$; de to ligger symmetrisk omkring den reelle talakse. Desuden illustreres, at multiplikation med $\mathrm {i}$ svarer til en drejning på $90^{\circ }$ og at multiplikation med $-\mathrm {i}$ (eller division med $\mathrm {i}$!) svarer til en drejning på $-90^{\circ }$.

Et komplekst tal $z\ =a+b\cdot \mathrm {i}$ kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne $(a,b)$ i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet. Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit.

Nogle geometriske fortolkninger:

• Da ${\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i}$, svarer kompleks konjugering, jfr. ligning (5), til spejling om den reelle akse.
• Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum $z=z_{1}+z_{2}$ konstrueres som et paralellogram.
• Multiplikation med $\mathrm {i}$ sker ved drejning på $90^{\circ }$, division ved drejning på $-90^{\circ }$.
• Da $\mathrm {Re} (z)=a$, fås realdelen ved projektion af $(a,b)$ på den reelle akse.
• Da $\mathrm {Im} (z)=b$, fås imaginærdelen ved projektion af $(a,b)$ på den imaginære akse.

Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved $z$ og ${\bar {z}}$:

$\mathrm {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}\cdot (z+{\bar {z}})$

$\mathrm {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2\cdot \mathrm {i} }}\cdot (z-{\bar {z}})$

Polær beskrivelse: Modulus og argument

Et komplekst tal $z$ kan fastlægges både ved sine kartesiske koordinater $(a,b)$ (som $z=a+b\cdot \mathrm {i}$) og ved sine polære koordinater $\langle r,\varphi \rangle$ (som $z=r\cdot \exp(\varphi \cdot \mathrm {i}$)). Figuren viser modulus $r=|z|$ og argument $\varphi =\arg(z)$ for dels det komplekse tal $z=4+3\cdot \mathrm {i}$, dels det konjugerede tal ${\bar {z}}$ og dels for $w=-3.5-2\cdot \mathrm {i}$ (med polære koordinater $\langle s,\psi \rangle$. Argumentet kan vælges at ligge i vinkelintervallet $[-180^{\circ },\,180^{\circ }[$ (brugt ved ${\bar {z}}$) eller i intervallet $[0^{\circ },\,360^{\circ }[$ (brugt ved $w$).

Et komplekst tal $z=a+b\cdot \mathrm {i}$, som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater ${\text{P}}=(a,b)$ også beskrives ved sine polære koordinater $\left\langle r,\varphi \right\rangle$. Her betegner $r$ punktets afstand fra origo ${\text{O}}=(0,0)$ og $\varphi$ er den vinkel, som liniestykket ${\text{OP}}$ danner med den reelle akse, se figuren.

Den polære koordinat $r$ kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives

$|z|=r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Den polære koordinat $\varphi$ kaldes det komplekse tals argument og skrives

$\arg(z)=\varphi =\operatorname {arctanXY} (a,b)$

Her er $\operatorname {arctanXY} (x,y)$ den arcustangens-funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne $(x,y)$ danner med førsteaksen.

Det komplekse tal $z=0$ har modulus $\left\vert z\right\vert =0$, men tillægges ikke noget argument.

Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis $\arg(z)=\varphi$ er argument for $z$, så kan også ethvert af tallene $\varphi +2\cdot \pi \cdot n,\;n\in \mathbb {Z}$ bruges som argument, fordi addition af et multiplum af $2\cdot \pi$ ( eller $360^{\circ }$ i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade $\varphi$ ligge i det halvåbne interval $[-\pi ,\pi [$ ( eller i gradmål $[-180^{\circ },\,180^{\circ }[$).

Eksempler

(Eks. 3)

$z=-\mathrm {i}$	$\,:\,$	$|z|={\sqrt {(0)^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1$		$\arg(z)=-\pi \ 2=-90^{\circ }$
$z=-1+\mathrm {i}$	$\,:\,$	$|z|={\sqrt {(-1)^{2}+(1)^{2}}}={\sqrt {2}}$		$\arg(z)=3/4\cdot \pi =135^{\circ }$
$z=-5-12\cdot \mathrm {i}$	$\,:\,$	$|z|={\sqrt {(-5)^{2}+(-12)^{2}}}={\sqrt {169}}=13$		$\arg(z)=\operatorname {arctanXY} (-5,-12)\approx -1.9656\approx -112.62^{\circ }$

Multiplikation og division af to komplekse tal på polær form

De kartesiske koordinater for et komplekst tal $z$ med modulus $r=|z|$ og argument $\varphi =\arg(z)$ fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:

$\mathrm {Re} \,(z)=r\cdot \cos(\varphi )$

$\mathrm {Im} \,(z)=r\cdot \sin(\varphi )$

Tallet kan derfor skrives

$z=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )$.

Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal

$z$	$\,=\,$	$|z|\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )$	$\quad$	$\varphi =\arg(z)$
$w$	$\,=\,$	$|z|\cdot (\cos(\psi )+\sin(\psi )\cdot \mathrm {i} )$	$\quad$	$\psi =\arg(w)$

bliver

$z\cdot w$	$\,=\,$	$|z|\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )\cdot |w|\cdot (\cos(\psi )+\sin(\psi )\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$|z|\cdot |w|\cdot (\cos(\varphi )\cdot \cos(\psi )-\sin(\varphi )\cdot \sin(\psi ))+(\cos(\varphi )\cdot \sin(\psi )+\sin(\varphi )\cdot \cos(\psi ))\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$|z|\cdot |w|\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\sin(\varphi +\psi )\cdot \mathrm {i} )$

hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske additionsformler. Man kan heraf konkludere, at

$|z\cdot w|\,=\,|z|\cdot |w|$

$\arg(z\cdot w)\,=\arg(z)+\arg(w)$

For $z\neq 0$ gælder, at $z\cdot {\frac {1}{z}}=1$. Heraf slutter vi dels at

$1=|1|=\left|z\cdot {\frac {1}{z}}\right|=|z|\cdot \left|{\frac {1}{z}}\right|\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\frac {1}{z}}\right|={\frac {1}{|z|}}$

og dels at

$0=\arg(1)=\arg \left(z\cdot {\frac {1}{z}}\right)=\arg(z)+\arg \left({\frac {1}{z}}\right)\quad \Leftrightarrow \quad \arg \left({\frac {1}{z}}\right)=-\arg(z)$

Heraf følger

$\left|{\frac {z}{w}}\right|=\left|z\cdot {\frac {1}{w}}\right|=|z|\cdot \left|{\frac {1}{w}}\right|=|z|\cdot {\frac {1}{|w|}}={\frac {|z|}{|w|}}$

samt

$\arg \left({\frac {z}{w}}\right)=\arg \left(z\cdot {\frac {1}{w}}\right)=\arg(z)+\arg \left({\frac {1}{w}}\right)=\arg(z)-\arg(w)$

Funktionen cis

Den irske matematiker William Rowan Hamilton, omtalt i det historiske afsnit, indførte hjælpefunktionen $\mathrm {cis}$ med komplekse funktionsværdier:

$\mathrm {cis} (x)=\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R}$

(9)

Navnet kan opfattes som en sammentrækning af cosinus, imaginær og sinus. Ved differentiation med hensyn til $x$ fås

$\mathrm {cis} (x)'=-\sin(x)+\cos(x)\cdot \mathrm {i} =\cos(x)\cdot \mathrm {i} +\sin(x)\cdot \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {cis} (x)$

Funktionen $\mathrm {cis}$ differentieres altså efter samme regel som en eksponentialfunktion.

Desuden har funktionen følgende egenskaber fælles med $\exp$:

• $\mathrm {cis} (z+w)=\mathrm {cis} (z)\cdot \mathrm {cis} (w)$

• $\mathrm {cis} (z-w)={\frac {\mathrm {cis} (z)}{\mathrm {cis} (w)}}$

Anvendelse af $\mathrm {cis}$ medfører en kortere notation og forbedret læselighed, for eksempel $e^{\mathrm {i} \cdot x^{2}}$ kontra $\mathrm {cis} (x^{2})$.

de Moivres formel og heltalspotenser

Hvis man i formlen for produktet af $z$ og $w$ sætter $z=w$, får man

$z^{2}=|z|^{2}\cdot (\cos(2\cdot \varphi )+\sin(2\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )$

og for produktet af $z$ og $z^{2}$ fås

$z^{3}=|z|^{3}\cdot (\cos(3\cdot \varphi )+\sin(3\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )$

hvilket straks kan generaliseres til

$z^{n}=|z|^{n}\cdot (\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )\quad n\in \mathbb {N}$

Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den

$(r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} ))^{n}=r^{n}\cdot (\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )\quad n\in \mathbb {N}$

(10)

Illustration af heltalspotenser af et komplekst tal $z$, altså $z^{2}$, $z^{3}$, ... $z^{n}$, ... Med grå farve vises potenser af $z$, hvor $|z|=1$ og $\arg(z)=17^{\circ }$ og hvor potensen varierer fra $1$ til $20$. Potenserne ligger alle på enhedscirklen. Med cyan farve vises potenser af $z$, hvor $|z|=0.96$ og $\arg(z)=17^{\circ }$ og hvor potensen varierer fra $1$ til $23$. Potenserne ligger alle på en indadsnoet logaritmisk spiral. Med lysegrøn farve vises potenser af $z$, hvor $|z|=1.04$ og $\arg(z)=17^{\circ }$ og hvor potensen varierer fra $1$ til $20$. Potenserne ligger alle på en udadsnoet logaritmisk spiral.

eller med anvendelse af $\mathrm {cis}$-funktionen, jfr. definitionen (9)

$\mathrm {cis} (z)^{n}=\mathrm {cis} (n\cdot z)$

Opløftning af et komplekst tal $z$ til $n$-te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus $r$ i $n$-te potens og gange dets argument $\varphi$ med $n$. Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.

Fordelen ved de Moivres formel for $z^{n}$ er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser $z^{2}$, $z^{3}$, ... $z^{n-1}$. Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af $\arg(z)$ samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.

Eksempler

(Eks. 4)

For det komplekse tal $z=0.95+0.39\cdot \mathrm {i} \,$ er $\,|z|\approx 1.026937,\arg(z)\approx 0.389548\approx 22.39144^{\circ }$

Potenser af $z$ beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.

Potenser af $z=0.95+0.39\cdot \mathrm {i} \,$

Potens	Kartesiske $z$-potenser	Modulus	Argument	Realdel	Imaginærdel
$n$	$z^{n}$	$|z|^{n}$	$\arg(z)\cdot n$	$\mathrm {Re} \,(z^{n})$	$\mathrm {Im} \,(z^{n}$)
$1$	$0.95+0.39\cdot \mathrm {i}$	$1.026\,937\,194$	$0.389\,547\,722$	$0.95$	$0.39$
$2$	$0.7574+0.741\cdot \mathrm {i}$	$1.046$	$0.779\,095\,444$	$0.7504$	$0.741$
$3$	$0.42389+0.996606\cdot \mathrm {i}$	$1.083\,007\,965$	$1.168\,643\,166$	$0.42389$	$0.996606$
$4$	$0.014\,019\,16+1.112\,0928\cdot \mathrm {i}$	$1.112\,181\,160$	$1.558\,190\,888$	$0.014\,019\,16$	$1.112\,0928$

Komplekse enhedsrødder

Illustration af komplekse enhedsrødder, dvs. løsninger til ligningen $z^{n}=1$ for graderne $n=2$ til $n=6$.

Inden for de reelle tals mængde $\mathbb {R}$ har ligningen $x^{n}=1$ enten én eller to reelle løsninger, nemlig $x=1$, hvis $n$ er ulige, og $x=-1$ og $x=+1$, hvis $n$ er lige.

Ifølge algebraens fundamentalsætning har ligningen $z^{n}=1$ $n$ komplekse rødder, som nu skal bestemmes. Først konstateres, at

$z^{n}=1\quad \Rightarrow \quad |z^{n}|=|z|^{n}=1\quad \Rightarrow \quad |z|=1$.

Alle løsninger ligger altså på enhedscirklen, så $z$ kan skrives $z=\operatorname {cis} (\varphi )$, hvor $\varphi$ er løsningens argument. Vi anvender nu de Moivres formel (10):

$z^{n}=1$	$\quad \Rightarrow \quad$	$\operatorname {cis} (\varphi )^{n}=\operatorname {cis} (n\cdot \varphi )=1$
	$\quad \Rightarrow \quad$	$\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} =1$
	$\quad \Rightarrow \quad$	$\cos(n\cdot \varphi )=1$
	$\quad \Rightarrow \quad$	$n\cdot \varphi =2\cdot \pi \cdot p,\quad p\in \mathbb {N}$
	$\quad \Rightarrow \quad$	$\varphi ={\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p,\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]$

Løsningerne er altså de $n$ komplekse tal

$z=\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p\right),\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]$

(11)

Disse ligger jævnt fordelt på enhedscirklen med et indbyrdes vinkelmellemrum på ${\tfrac {2\cdot \pi }{n}}$ og udspænder en regulær $n$-kant med et hjørne i (1,0). De kaldes for de n-te enhedsrødder. ^{:55 :30}

Roden med $p=1$ betegnes normalt $\varepsilon$, de øvrige er potenser af denne. Enhedsrødderne kan derfor også opremses som

$1,\;\varepsilon ,\;\varepsilon ^{2},\;\varepsilon ^{3},\;...,\;\varepsilon ^{n-1},\quad \varepsilon =\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\right)$.

Figuren i det følgende afsnit illustrerer desuden enhedsrøddernes beliggenhed i tilfælde $n=5$, hvor

$\varepsilon =\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{5}}\right)=\cos(72^{\circ })+\sin(72^{\circ })\cdot \mathrm {i}$.

Ligningen zⁿ = c

Illustration af løsninger til komplekse ligninger af typen $z^{n}=c$. Grøn farve: Enhedscirklen. Rød farve: Løsninger til ligningen $z^{5}=1$ (enhedsrødderne af grad 5). Blå farve: Løsninger til ligningen $z^{5}=-11+3\cdot \mathrm {i}$. Løsningspunkterne danner i begge tilfælde en regulær femkant.

Lad $c=r\cdot \operatorname {cis} (\varphi )$ være et givet komplekst tal med modulus $r$ og argument $\varphi$. Vi søger alle løsninger til ligningen

$z^{n}=c\quad n\in \mathbb {N}$

Dertil skriver vi også $z$ på polær form, $z=|z|\cdot \operatorname {cis} (v)$ og anvender igen de Moivres formel (10):

$z^{n}=c\quad \Rightarrow \quad |z|^{n}\cdot \operatorname {cis} (n\cdot v)=r\cdot \operatorname {cis} (\varphi )$

Denne ligning er opfyldt, hvis

$|z|={\sqrt[{n}]{r}}\quad$ og $\quad n\cdot v=\varphi +2\cdot \pi \cdot p\quad$ eller $\quad v={\tfrac {\varphi }{n}}+{\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p$

Ligningens $n$ løsninger er derfor

$z={\sqrt[{n}]{r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {\varphi }{n}}+{\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p\right)\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]$

(12)

Eksempel

(Eks. 5)

Hvilke komplekse løsninger har ligningen $z^{5}=-11+3\cdot \mathrm {i}$?

For denne ligning er $r={\sqrt {(-11)^{2}+3^{2}}}={\sqrt {130}}$ og $\varphi =\operatorname {ArctanXY} (-11,3)=2.875\;341=164.745^{\circ }$, så

$z={\sqrt[{10}]{130}}\cdot \operatorname {cis} \left(0.575\;068+{\tfrac {2\cdot \pi }{5}}\cdot p\right)\quad p\in [\;0,\;1,\;2,\;3,\;4,]$

Ved udregning fås værdierne

$p$	$z_{p}$
$\quad 0\quad$	$\quad +1.365\;327+0.884\;926\cdot \mathrm {i} \quad$
$1$	$-0.419\;705+1.571\;960\cdot \mathrm {i}$
$2$	$-1.624\;719+0.086\;599\cdot \mathrm {i}$
$3$	$-0.584\;426-1.518\;439\cdot \mathrm {i}$
$4$	$+1.263\;524-1.025\;046\cdot \mathrm {i}$

I det komplekse plan danner de til $z_{p}$ hørende punkter en regulær femkant, se figuren.

Kompleks andengradsligning

Ligningen z² = c

Her er $c$ et vilkårligt komplekst tal. Ligningen kan løses i både kartesiske og polære koordinater:

Løsning i kartesiske koordinater

Vi sætter $z=x+y\cdot \mathrm {i}$ og $c=a+b\cdot \mathrm {i}$, hvor $a$ og $b$ er kendte reelle tal. Opgaven er da, at finde $x$ og $y$.

$(x+y\cdot \mathrm {i} )^{2}=a+b\cdot \mathrm {i}$

$(x^{2}-y^{2})+2\cdot x\cdot y\cdot \mathrm {i} =a+b\cdot \mathrm {i}$

${\begin{cases}x^{2}-y^{2}=a\\2\cdot x\cdot y=b\end{cases}}$

Man må opdele i forskellige tilfælde:

$\mathbf {a=0\land b=0:}$

$(x^{2}=y^{2})\land (x\cdot y=0)\,\Leftrightarrow \,(x=0)\land (y=0)\Leftrightarrow z=0$

$\mathbf {a=0\land b\neq 0:}$

$x^{2}=y^{2}\,\Leftrightarrow \,(x=y)\lor (x=-y)$

$b>0:$ $x$ og $y$ har samme fortegn, dvs. $y=x$:

$2\cdot x^{2}=b$	$\,\Leftrightarrow \,$	$\left(x={\sqrt {\frac {b}{2}}}=y\right)\lor \left(x=-{\sqrt {\frac {b}{2}}}=y\right)$
	$\,\Rightarrow \,$	$\left(z={\sqrt {\frac {b}{2}}}+{\sqrt {\frac {b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)\lor \left(z=-{\sqrt {\frac {b}{2}}}-{\sqrt {\frac {b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)$

$b<0:$ $x$ og $y$ har modsat fortegn, dvs. $y=-x$:

$-2\cdot x^{2}=b$	$\,\Leftrightarrow \,$	$\left(x={\sqrt {\frac {-b}{2}}}=-y\right)\lor \left(x=-{\sqrt {\frac {-b}{2}}}=-y\right)$
	$\,\Rightarrow \,$	$\left(z={\sqrt {\frac {-b}{2}}}-{\sqrt {\frac {-b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)\lor \left(z=-{\sqrt {\frac {-b}{2}}}+{\sqrt {\frac {-b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)$

$\mathbf {a\neq 0\land b=0:}$

$2\cdot x\cdot y=0\,\Rightarrow \,(x=0)\lor (y=0)$.

$a>0:$ Så må $y=0$ og $(x={\sqrt {a}})\lor (x=-{\sqrt {a}})$ dvs. $(z={\sqrt {a}})\lor (z=-{\sqrt {a}})$

$a<0:$ Så må $x=0$ og $(y={\sqrt {-a}})\lor (y=-{\sqrt {-a}})$ dvs. $(z={\sqrt {-a}}\cdot \mathrm {i} )\lor (z=-{\sqrt {-a}}\cdot \mathrm {i} )$

$\mathbf {a\neq 0\land b\neq 0:}$

Da $b\neq 0$, må også $x\neq 0$, så vi kan isolere $y$ i den anden ligning, $y={\frac {b}{2\cdot x}}$, og indsætte dette i den første:

$x^{2}-{\frac {b^{2}}{4\cdot x^{2}}}=a\,\Leftrightarrow \,4\cdot (x^{2})^{2}-4\cdot a\cdot x^{2}-b^{2}=0$.

Denne fjerdegradsligningen er en iklædt andengradsligning med $x^{2}$ som ubekendt. Ligningens diskriminant er

$d=(4\cdot a)^{2}-4\cdot 4\cdot (-b)=16\cdot (a^{2}+b^{2})=16\cdot |c|^{2}$.

Ifølge det forudsatte er $d>0$, så løsningerne er

$x^{2}={\frac {4\cdot a\pm 4\cdot |c|}{8}}={\tfrac {1}{2}}\cdot a\pm {\tfrac {1}{2}}\cdot |c|$.

Da $|c|>a$, bliver højresiden negativ, hvis fortegnet $-$ benyttes. Der er derfor kun én løsning for $x^{2}$ og af den følger $y^{2}$:

${\begin{array}{lcl}x^{2}&=&&&{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)\\y^{2}&=&x^{2}-a&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)\end{array}}$

$x$ og $y$ selv kan være positive eller negative, men ligningen $2\cdot x\cdot y=b$ viser, at deres produkt skal have samme fortegn som $b$. Fortegnet af et reelt tal $x$ er giver ved signum-funktionen, der defineres ved

$\operatorname {sign} (x)={\begin{cases}-1&{\text{ for }}x<0\\\;\;0&{\text{ for }}x=0\\\;\;1&{\text{ for }}x>0\end{cases}}$

Signum-funktionen er implementeret i de fleste programmerinssprog; i dansk Excel er den fordansket til "FORTEGN".

Vi kan nu opskrive ligningens løsning:

$x=+{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)}}>0$	$\quad :\quad$	$y$ skal have samme fortegn som $b$, dvs.
		$y=+\operatorname {sign} (b)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)}}$
$x=-{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)}}<0$	$\quad :\quad$	$y$ skal have modsat fortegn af $b$, dvs.
		$y=-\operatorname {sign} (b)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)}}$

Konklusion:

Da de tre første specialtilfælde også dækkes ind af den generelle formel, er løsningerne i alle situationer givet ved

$z=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)}}+\operatorname {sign} (b)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)}}\cdot \mathrm {i} \right)$

(13)

De to løsninger er hinandens modsatte tal.

Eksempel

(Eks. 6)

$z^{2}=c=-96-40\cdot \mathrm {i}$

Her er $|c|={\sqrt {(-96)^{2}+(-104)^{2}}}={\sqrt {10816}}=104$

$z=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (104-96)}}+(-1)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (104+96)}}\cdot \mathrm {i} \right)=\pm ({\sqrt {4}}-{\sqrt {100}}\cdot \mathrm {i} )=\pm (2-10\cdot \mathrm {i} )$

$(z=2-10\cdot \mathrm {i} )\,\lor \,(z=-2+10\cdot \mathrm {i} )$

Løsning i polære koordinater

Her kan man benytte resultatet fra afsnittet, der behandlede ligningen $z^{n}=c$:

$z={\sqrt {r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {\varphi }{2}}+\pi \cdot p\right)\quad p\in [\;0,\;1\;]$

eller, da addition af $\pi$ betyder en drejning af løsningen på $180^{\circ }$ og dermed et fortegnsskift,

$z=\pm {\sqrt {r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)$

Denne metode giver løsningen ved færre regninger, men har den ulempe, at man skal bruge trigonometriske funktioner både ved bestemmelsen af argumentet $\varphi$ og ved brugen af $\operatorname {cis}$.

Eksempel

(Eks. 7)

Vi betragter igen ligningen

$z^{2}=c=-96-40\cdot \mathrm {i}$

for hvilken $r=|c|=104$ og $\varphi =\arg(c)=-157.380\;135^{\circ }$. Løsningerne bliver derfor

$z=\pm {\sqrt {104}}\cdot (\cos(-78.690\;068)+\sin(-78.690\;068)\cdot \mathrm {i} )$

$z=\pm ({\sqrt {104}}\cdot 0.196\;116-{\sqrt {104}}\cdot 0.980\;581\cdot \mathrm {i} )$

$z=\pm (2-10\cdot \mathrm {i} )$

altså (naturligvis) samme resultat som ved regningen med kartesiske koordinater. Dog spiller afrundingsfejl en større rolle ved denne metode.

Rodsymboler og komplekse tal

For et vilkårligt ikke-negativt reelt tal, $x$, kan man definere tallets kvadratrod, ${\sqrt {x}}$, som det tal, der ganget med sig selv giver $x$:

$\forall \;x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {R} _{-}\;\exists !\;y\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {R} _{-}\;:\;y={\sqrt {x}}\quad \Leftrightarrow \quad y^{2}=x$

Som angivet med eksistens-kvantoren $\exists !$ er kvadratroden entydigt bestemt. Negative tal har ingen reel kvadratrod.

For de komplekse tal stiller sagen sig anderledes. Som vist i et tidligere afsnit, har alle komplekse tal, bortset fra $0$, to forskellige (og modsatte) komplekse kvadratrødder. I eksempel 6 blev det vist, at

$z^{2}=-96-40\cdot \mathrm {i} \quad \Leftrightarrow \quad (z=2-10\cdot \mathrm {i} )\,\lor \,(z=-2+10\cdot \mathrm {i} )$.

Dette kunne også skrives

${\sqrt {-96-40\cdot \mathrm {i} \,}}=\pm (2-10\cdot \mathrm {i} )$,

hvor kvadratrodssymbolet nu bruges til at angive en flertydig størrelse. Men hvis denne notation anvendes på reelle tal, opstår der uheldige skrivemåder som

${\sqrt {25}}=\pm 5\,$

eller endog

$\,{\sqrt {7}}=\pm {\sqrt {7}}$

I denne ligning indeholder venstre side et komplekst, flertydigt kvadratrodssymbol, medens højre side benytter et reelt, entydigt kvadratrodssymbol.

Det er derfor uhensigtsmæssigt at benytte rodsymboler i forbindelse med komplekse tal.

Generel andengradsligning

Den komplekse andengradsligning

$a\cdot z^{2}+b\cdot z+c=0\quad a,b,c\in \mathbb {C} ,\quad a\neq 0$

kan omskrives med nøjagtig den samme fremgangsmåde, som i det reelle tilfælde til

$(2\cdot a\cdot z+b)^{2}=d\equiv b^{2}-4\cdot a\cdot c$

hvor $d$ som i det reelle tilfælde kaldes andengradsligningens diskriminant.

Lad nu $r$ betegne den ene af de to løsninger til ligningen $r^{2}=d$. Som vist i forrige afsnit er den anden løsning det modsatte tal, $-r$ . Andengradsligningen har da de to løsninger

$\left(z={\frac {-b+r}{2\cdot a}}\right)\quad {\text{og}}\quad \left(z={\frac {-b-r}{2\cdot a}}\right)$

(14)

Bemærkning Som vist kan rødder i andengradspolynomier udtrykkes ved hjælp af kvadratrødder. Det viser sig, at bestemmelse af rødder i tredje- og fjerdegradspolynomier også kan udtrykkes ved hjælp af rodsymboler. Men for ligninger af grad 5 eller højere er dette ikke generelt muligt. Dette blev første gang bevist af den norske matematiker Niels Henrik Abel.

Eksempel

(Eks. 8)

Lad os løse den komplekse andengradsligning

$(1-\mathrm {i} )\cdot z^{2}-4\cdot z+9+19\cdot \mathrm {i} =0$.

Vi identificerer

• $a=1-\mathrm {i}$,
• $b=-4$,
• $c=9+19\cdot \mathrm {i}$,

og beregner ligningens diskriminant til

$d=b^{2}-4\cdot a\cdot c=(-4)^{2}-(4-4\cdot \mathrm {i} )\cdot (9+19\cdot \mathrm {i} )=16-36-76\cdot \mathrm {i} +36\cdot \mathrm {i} -76=-96-40\cdot \mathrm {i}$

Løsningerne til ligningen $r^{2}=d$ blev fundet i eksempel 7 og en af dem er

$r=2-10\cdot \mathrm {i}$.

De to rødder bliver derfor

$z_{1}={\frac {-b+r}{2\cdot a}}={\frac {4+2-10\cdot \mathrm {i} }{2-2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {3-5\cdot \mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1+\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}={\frac {8-2\cdot \mathrm {i} }{2}}={\color {ForestGreen}4-\mathrm {i} }$

$z_{2}={\frac {-b-r}{2\cdot a}}={\frac {4-2+10\cdot \mathrm {i} }{2-2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {1+5\cdot \mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1+\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}={\frac {-4+6\cdot \mathrm {i} }{2}}={\color {ForestGreen}-2+3\cdot \mathrm {i} }$.

Komplekse funktioner

Reelle funktioner kan beskrives med en funktionsforskrift $y=f(x)$ og illustreres grafisk i et $(x,y)$ koordinatsystem, hvor $x$-aksen indeholder definitionsmængden og $y$-aksen bruges til billedmængden. Det samme kan ikke gøres med funktioner med komplekse variable, $w=f(z)$, for et komplekst tal optager jo allerede to dimensioner. I stedet kan en kompleks funktion illustreres med to koordinatsystemer, et $z$-system til definitionsmængden og et $w$-system til billedmængden.

Kompleks konjugering

Konjugering blev defineret i afsnittet om elementære regneregler. Ved udregning konstaterer man, at der gælder følgende regler for kompleks konjugering:

• ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\$
• ${\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}\!\$
• $\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$
• $z+{\bar {z}}=2\cdot x$
• $z\cdot {\bar {z}}={\bar {z}}\cdot z=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}$
• ${\overline {z}}={\overline {r\cdot \exp(\varphi }}\cdot \mathrm {i} )=r\cdot \exp(-\varphi \cdot \mathrm {i} )$

Bemærk, at sum og produkt af $z$ og ${\bar {z}}$ er reelle tal.

Kompleks lineær funktion

En kompleks lineær funktion har forskriften

$f(z)=a\cdot z+b,\;a\in \mathbb {C} \in \{0\},\;b\in \mathbb {C}$

(Hvis $a=0$, bliver $f(z)$ en konstant funktion, der afbilder alle punkter i den komplekse plan i det komplekse tal $b$).

Specielt er

• $f(0)=b$
• $f(1)=a+b$
• $f(\mathrm {i} )=a\cdot \mathrm {i} +b$.

Illustration af den komplekse lineære funktion $f(z)=a\cdot z+b$, hvor $a={\sqrt {3}}+\mathrm {i}$ og $b=2+\mathrm {i}$. Et net af enhedskvadrater i $z$-planet afbildes ved $f$ i et andet kvadratisk net i $w$-planet. De tre komplekse tal $0$, $1$ og $\mathrm {i}$ samt afbildningens fikspunkt $z^{*}$ er i $z$-planet markeret med farvede prikker hhv. et sort kryds. Deres billeder i $w$-planet har de samme signaturer. Fikspunktet er defineret ved, at $f(z^{*})=z^{*}$, så det bliver som det eneste på sit oprindelige sted.

Dette illustreres på figuren med funktionen $f(z)=({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )\cdot z+(2+\mathrm {i} )$, der også viser, hvordan et kvadratisk net i $z$-planet afbildes i et strakt, roteret og forskudt kvadratisk net i $w$-planet. Matematisk set er der tale om en ligedannethed.

Vi betragter først to specialtilfælde:

1. $a=1$: Så er $f(z)=z+b$, dvs. funktionen foretager en parallelforskydning med $b$.
2. $b=0$: Så er $f(z)=a\cdot z$. For kortheds skyld kalder vi funktionsværdien for $w$, $w=a\cdot z$.

Vi har da

$|w|=|a|\cdot |z|$: Multiplikation ud fra (0, 0) med $|a|$.

$\arg(w)=\arg(a)+\arg(z)$: Rotation omkring (0,0) med $\varphi =\arg(a)$.

Herefter ser vi på det generelle tilfælde, hvor $a\neq 1$:

Funktionen har da netop et fikspunkt $z^{*}$ defineret ved, at $f(z^{*})=z^{*}$:

$a\cdot z^{*}+b=z^{*}\quad \Leftrightarrow \quad b=(1-a)\cdot z^{*}\quad \Leftrightarrow \quad z^{*}={\frac {b}{1-a}}$.

Betegner vi som ovenfor funktionsværdien med $w$, kan vi omskrive således:

$w=a\cdot z+b=a\cdot (z-z^{*})+a\cdot z^{*}+b=a\cdot (z-z^{*})+z^{*}$

$w-z^{*}=a\cdot (z-z^{*})$

Heraf fremgår, at $f$ strækker og roterer som omtalt ovenover, men gør det centreret på fikspunktet $z^{*}$. Det orange kvadrat, som vises i $z$-planen på figuren, afbildes ved $f$ i det orange kvadrat i $w$-planet. Det sker ved

1. en strækning ud fra $z^{*}$ med det lineære forhold $|a|={\sqrt {({\sqrt {3}})^{2}+1^{2}}}=2$
2. en rotation omkring $z^{*}$ på $\arg(z)=\arctan \left(1/{\sqrt {3}}\right)=\pi /6=30^{\circ }$

Eksempel

(Eks. 9)

Beregning af et fikspunkt $z^{*}$

For den komplekse lineære funktion på figuren er $a={\sqrt {3}}+\mathrm {i}$ og $b=2+\mathrm {i}$. Heraf følger, at

$z^{*}$	$\,=\,$	${\frac {b}{1-a}}={\frac {2+\mathrm {i} }{1-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}={\frac {2+\mathrm {i} }{1-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{1-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }}={\frac {2-2\cdot {\sqrt {3}}+2\cdot \mathrm {i} +\mathrm {i} -{\sqrt {3}}\cdot \mathrm {i} -1}{1+3-2\cdot {\sqrt {3}}+1}}$
	$\,=\,$	${\frac {(1-2\cdot {\sqrt {3}})+(3-{\sqrt {3}})\cdot \mathrm {i} }{5-2\cdot {\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {5+2\cdot {\sqrt {3}}}{5+2\cdot {\sqrt {3}}}}$
	$\,=\,$	${\frac {(5+2\cdot {\sqrt {3}}-10\cdot {\sqrt {3}}-12)+(15+6\cdot {\sqrt {3}}-5\cdot {\sqrt {3}}-6)}{25-12}}$
	$\,=\,$	${\color {ForestGreen}{\frac {-7-8\cdot {\sqrt {3}}}{13}}+{\frac {9+{\sqrt {3}}}{13}}\cdot \mathrm {i} }\approx -1.604\,339+0.825\,542\cdot \mathrm {i}$

Kompleks eksponentialfunktion

Den reelle eksponentialfunktion $\mathrm {exp}$ er defineret ved, at dens differentialkvotient er lig funktionen selv, altså

$\mathrm {exp} (x)'=\mathrm {exp} (x)$

Som konsekvens heraf er

$\exp(a\cdot x)'=a\cdot \mathrm {exp} (x)$

Desuden opfylder $\mathrm {exp}$ funktionalligningen

$\mathrm {exp} (x+y)=\mathrm {exp} (x)\cdot \mathrm {exp} (y)$

Eksponentialfunktionen med imaginært argument

Med baggrund i ovenstående resultat indfører man følgende definition:

Definition:  Eksponentialfunktionen med et imaginært argument defineres ved forskriften  $\exp(x\cdot \mathrm {i} )=\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R}$

At denne definition er fornuftig bestyrkes af nedenstående egenskaber:

$\exp(x\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(y\cdot \mathrm {i} )$	$\,=\,$	$(\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} )\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )$		Ifølge definitionen
	$\,=\,$	$(\cos(x)\cdot \cos(y)-\sin(x)\cdot \sin(y))$
	$\,+\,$	$(\cos(x)\cdot \sin(y)+\sin(x)\cdot \cos(y))\cdot \mathrm {i} )$		Ifølge parentesregneregler
	$\,=\,$	$\cos(x+y)+\sin(x+y)\cdot \mathrm {i}$		Ifølge additionsformler for $\cos$ og $\sin$
	$\,=\,$	$\exp((x+y)\cdot \mathrm {i} )$		Ifølge definitionen

Eksponentialfunktionens funktionalligning, $\exp(p+q)=\exp(p)\cdot \exp(q)$, er dermed også opfyldt for imaginære argumenter.

De elementære funktioner $\sin$, $\cos$ og $\exp$ har følgende rækkeudviklinger gældende for alle $x\in \mathbb {R}$

$\sin(x)=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+...$

$\cos(x)=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+...$

$\exp(x)=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{x^{5} \over 5!}+...$

Hvis vi ønsker at kunne benytte disse også for komplekse tal, må der (da $\mathrm {i} ^{2}=-1$!) gælde at

$\exp(x\cdot \mathrm {i} )$	$\,=\,$	$1+{x \over 1!}\cdot \mathrm {i} -{x^{2} \over 2!}-{x^{3} \over 3!}\cdot \mathrm {i} +{x^{4} \over 4!}+{x^{5} \over 5!}\cdot \mathrm {i} ...$
	$\,=\,$	$\left(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}+...\right)+\left({x \over 1!}-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}...\right)\cdot \mathrm {i}$
	$\,=\,$	$\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i}$
	$\,=\,$	$\mathrm {cis} (x)$

i overensstemmelse med ovenstående resultat.

Eksponentialfunktionen med komplekst argument

Vi ønsker, at funktionalligningen gældende for reel $\exp$ skal gælde generelt:

$\exp(x+y\cdot \mathrm {i} )=\exp(x)\cdot \exp(y\cdot \mathrm {i} )=\exp(x)\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )$,

hvilket fører til følgende definition af $\exp$ for et vilkårligt komplekst tal $z$:

Definition:   Eksponentialfunktionen med et komplekst argument defineres ved forskriften   $\exp(z)=\exp(x+y\cdot \mathrm {i} )=\exp(x)\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )$

I nogle fremstillinger af de komplkse tal vælger man i stedet at definere $\exp(z)$ som den ovenfor viste uendelige sum, altså

$\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+...$

Men det kræver et større forarbejde at vise, at denne sum er veldefineret, dvs. at den konvergerer for alle $z\in \mathbb {C}$.

Egenskaber for exp

Funktionalligningen for eksponentialfunktionen $\exp$ kendt fra de reelle tal $\mathbb {R}$, forbliver gyldig ved udvidelsen til de komplekse tal $\mathbb {C}$, dvs. der gælder

$\exp(z+w)=\exp(z)\cdot \exp(w)$ for alle $z,w\in \mathbb {C}$

Af definitionen fremgår også, at

$\exp(z)\neq 0$ for alle $z\in \mathbb {C}$

Udregningen

$\exp(z+2\cdot \pi \cdot \mathrm {i} )$	$\,=\,$	$\exp(z)\cdot \exp(2\cdot \pi \cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$\exp(z)\cdot (\cos(2\cdot \pi )+\sin(2\cdot \pi )\cdot \mathrm {i} )$
	$\,=\,$	$\exp(z)\cdot (1+0\cdot \mathrm {i} )=\exp(z)$

viser, at $\exp(z)$ er periodisk med en imaginær periode på $2\cdot \pi \cdot \mathrm {i}$. Geometrisk betyder det, at alle komplekse tal, som i den komplekse talplan ligger på en linje parallel med den imaginære akse og med en indbyrdes afstand på $2\cdot \pi$ ved $\exp$ afbildes i det samme tal. Med andre ord er $\exp$ ikke injektiv og har derfor ikke nogen invers funktion.

Den komplekse funktion $\exp$ afbilder enhver af de grå striber $S_{n},n\in \mathbb {Z} ,$ med højden $2\cdot \pi$ på den komplekse plan. Komplekse tal i $z$-planet med en indbyrdes forskel på $2\cdot \pi \cdot \mathrm {i}$ afbildes som vist med pile i samme punkt i $w$-planet. De to pile tegnet med cyan og magenta farve viser, hvis de vendes om, hvorden den komplekse logaritmefunktion $\operatorname {Log}$ afbilder komplekse tal ind i striben $S_{0}$.

Illustrationen viser med grå farver strimler med en bredde på $2\cdot \pi$. Strimlerne $S_{n}$ karakteriseres med et helt tal $n$ og defineres som

$S_{n}=\{z=x+y\cdot \mathrm {i} \,|\,(2\cdot n-1)\cdot \pi \,\leqq \,\mathrm {Im} \,(z)\,<\,(2\cdot n+1)\cdot \pi \}\quad n\in \mathbb {N}$

Når man vil undersøge, hvordan $\exp$ afbilder $z$-planet ind i $w$-planet, kan man derfor begrænse sig til en strimmel af bredden $2\cdot \pi$, for eksempel strimlen

$S_{0}=\{x+y\cdot \mathrm {i} \,|\,-\pi \,\leqq y\,<\,+\pi \}$

Linjer i denne strimmel, som er paralelle med den reelle akse og som har afstanden $y^{*}$ (regnet med fortegn), kan beskrives med parameterfremstillingen

$z=t+y^{*}\cdot \mathrm {i} \quad t\in \mathbb {R}$.

Et punkt $z$ på linjen afbildes ved $\exp$ i punktet

$w=\exp(z)=\cos(y^{*})\cdot \exp(t)+\sin(y^{*})\cdot \exp(t)$.

Når parameteren $t$ gennemløber intervallet $]\,-\infty ;\infty \,[$, gennemløber billedpunktet en åben halvlinie gående ud fra $(0,\,0)$ under vinklen $y^{*}$.

Liniestykker i denne strimmel, som er paralelle med den imaginære akse og som har afstanden $x^{*}$ (regnet med fortegn), kan beskrives med parameterfremstillingen

$z=x^{*}+t\cdot \mathrm {i} \quad t\in [\,-\pi ;\pi [$.

Et punkt $z$ på liniestykket afbildes ved $\exp$ i punktet

$w=\exp(z)=\exp(x^{*})\cdot \cos(t)+\exp(x^{*})\cdot \sin(t)$.

Når parameteren $t$ gennemløber intervallet $[\,-\pi ;\pi \,[$, gennemløber billedpunktet en cirkel med centrum i $(0,\,0)$ og radius $\exp(x^{*})$. Disse forhold illustreres på nedenstående figur.

Illustration af den komplekse eksponentialfunktions afbildning af det komplekse plan, $w=\exp(z)$. Til venstre: $z$-planet med de tre komplekse tal 0, 1, og $\mathrm {i}$, et kvadratisk net med maskestørrelse 1, en del af den vandrette stribe $-\pi <\operatorname {Im} (z)<+\pi$ (markeret med en lysegrå baggrund) samt to rektangler med grøn og magenta farve. Til højre: Exp-billederne af disse objekter: Vandrette linjer afbildes i halvlinier, som udgår fra $0$, lodrette i cirkler med centrum i $0$. De danner kurveskarer, som lokalt står vinkelret på hinanden. Tallet $w=0$ er som det eneste ikke et billedpunkt.

Kompleks logaritmefunktion

Som vist i forrige afsnit er der komplekse eksponentialfunktion $\exp$ ikke injektiv, idet den afbilder enhver af striberne $S_{i}$ ind i de komplekse tal. Den har derfor ikke nogen invers (omvendt) funktion. Men hvis man begrænser dens definitionsmængde til én af disse striber, bliver den invertérbar. Hvis man begrænser sig til hovedstriben

$S_{0}\equiv \{z|-\pi \leqq \mathrm {Im} \,(z))<\pi \}$

kan man regne sig frem til en forskrift for den inverse funktion. Betegner vi den begrænsede udgave af eksponentialfunktionen med $\exp _{0}$ og dens inverse funktion med $\operatorname {Log}$, har vi

$w=\exp _{0}(z)\quad \Leftrightarrow \quad \operatorname {Log} (w)=z$

eller på koordinatform

$u+v\cdot \mathrm {i} =\exp _{0}(x+y\cdot \mathrm {i} )\quad \Leftrightarrow \quad \operatorname {Log} (u+v\cdot \mathrm {i} )=x+y\cdot \mathrm {i}$

Vi bestemmer $x$ og $y$:

$u+v\cdot \mathrm {i} =\exp(x)\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )\quad \Leftrightarrow \quad (u=\exp(x)\cdot \cos(y))\land (v=\exp(x)\cdot \sin(y))$

$|w^{2}|=u^{2}+v^{2}=\exp(2\cdot x)\quad \Leftrightarrow \quad \exp(x)=|w|\quad \Leftrightarrow \quad x=\ln(|w|)$

$y=\arg(w)\in [-\pi ;\,\pi [$

Forskriften for $\operatorname {Log}$, der kaldes logaritmens hovedværdi, er derfor:

$\operatorname {Log} (z)=\ln(|w|)+\arg(w)\cdot \mathrm {i}$

(15)

Eksempler

(Eks. 10)

• $\operatorname {Log} (\mathrm {i} )=\ln(1)+\arg(\mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} ={\color {ForestGreen}{\tfrac {\pi }{2}}\cdot \mathrm {i} }$
• $\operatorname {Log} (4+6\cdot \mathrm {i} )=\ln(|4+6\cdot \mathrm {i} |)+\arg(4+6\cdot \mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} ={\color {ForestGreen}\ln({\sqrt {52}})+\arctan(6/4)\cdot \mathrm {i} }\approx 1.975\,622+0.982\,794\mathrm {i}$
• $\operatorname {Log} (1-5\cdot \mathrm {i} )=\ln(|1-5\cdot \mathrm {i} |)+\arg(1-5\cdot \mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} ={\color {ForestGreen}\ln({\sqrt {26}})+\arctan(-5)\cdot \mathrm {i} }\approx 1.629\,048-1.373\,008\mathrm {i}$

De to sidste eksempler kan ses illustreret på ovenstående figur med flertydighed for $\exp$: Hvis retningen af de to afbildningspile tegnet med cyan og magenta farve vendes om, viser de, hvordan $\operatorname {Log}$ afbilder netop de to tal $4+6\cdot \mathrm {i}$ og $1-5\cdot \mathrm {i}$ ind i $S_{0}$.

Komplekse trigonometriske funktioner

Vi har defineret, at

$\exp(x\cdot \mathrm {i} )=\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R}$

Da $\cos$