Almen relativitetsteori og klassisk mekanik

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Denne artikel skal snarest indarbejdes i andre artikler

Her beskrives sammenhængen mellem Einsteins almene relativitetsteori og Newtons klassiske beskrivelse af legemers bevægelse i et tyngdefelt. Vi vil ikke her gå ind i udledningen af Einsteinligningen og fortolkning af de enkelte led i denne, ej heller en mere grundlæggende introduktion til Einsteins almene relativitetsteori. Blot skal det nævnes, at når samme index står for for oven og for neden i et led i en ligning er der tale om implicit summation. Konventionen er, at i eller j summeres fra 1 til 3 (de rumlige koordinater), mens a,b,c,... summeres fra 0 til 3 (både tidslig og rumlige koordinater). Desuden skal man huske, at konventionen for enheder (lysets hastighed) i klassisk mekanik og almen relativitetsteori normalt er hhv.:

Klassisk mekanik[redigér | redigér wikikode]

Newtons beskrivelse af tyngdekraften er basalt set, at to legemer med masser M og m og indbyrdes afstand r tiltrækker hinanden med en kraft, der har størrelsen:

Desuden ved vi, at en partikel med masse m, der påvirkes af en kraft F acelereres med en acceleration, der opfylder:

Alternativt kan man sige, at en punktformig masse M giver anledning til et tyngdepotential:

Sammenhængen med ovenstående er, at accelerationen af en lille test masse placeret i potentialet er:

Med denne definition af potentialet får vi:

Eller hvis massen ikke er punktformig, men vi i stedet har en massetæthed:

Klassisk approksimation til den almene relativitetsteori[redigér | redigér wikikode]

Det vi her ønsker at vise er at Einsteinligningen:

er i overensstemmelse med Newtons klassiske beskrivelse, i grænsen hvor alle partikler (masser) bevæger sig meget langsommere end lyset, og rummet er næsten fladt (eller ækvivalent: tyngdekraften er meget lille). Dvs.:

Det betyder, at:

Vi har her brugt, at egentid s og tidskoordinat t er identiske for lille hastighed og små tyngdefelter. Vi får altså:

Dermed får vi:

Til laveste orden (0. orden) i h får vi:

Samtidig har vi:

Vi kan altså se, at Γ bliver første orden i h, hvorfor vi kan negligere alle led, der er af højere orden i Γ. Dermed før vi:

Men eftersom vi har antaget at alle hastigheder er små sammenlignet med lysets og vi basalt set har:

kan vi trygt negligere alle led hvor der afledes med hensyn til tiden. Vi får:

Det sidste fortegnsskift kommer fordi det at flytte index op eller ned svarer til at gange g på, men eftersom h er meget lille får vi blot at g skifter fortegn på de tre rumlige koordinater. Vi får dermed at:

Sammenhæng mellem de to teorier[redigér | redigér wikikode]

Men hvordan hænger alt det her sammen med accelerationen af den lille test masse, vi har fra Newtons teori? Den geodætiske ligning, som beskriver, hvordan masser bevæger sig i denne (lidt) krumme rumtid, siger:

eller i vores approximation, for de rumlige koordinater:

Eller på vektorform:

Vi er altså endt med et klassisk tyngdepotential, der opfylder:

Så teorierne er i overensstemmelse, hvis vi definerer:

Den sidste faktor kommer ind fordi vi har brugt to forskellige enhedssystemer til definitionen af de to potentialer. Hermed har vi bestemt den frie parameter i Einsteins almene relativitetsteori ud fra kravet om overensstemmelse med Newtons teori i grænsen

.

Se også[redigér | redigér wikikode]