Andengradsligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Rødderne (løsningerne) til en andengradsligning med koefficienterne , og kan sammenfattes i den viste ligning.

Ved en andengradsligning[1][2][3] forstås en ligning på formen

Størrelserne , og kaldes andengradsligningen koefficienter og er den ubekendte, hvis værdi skal bestemmes med ligningen. Det første led, kaldes andengradsleddet, er førstegradsleddet og er konstantleddet (eller nultegradsleddet). Koefficeienten må kræves at være forskellig fra nul, da ligningen ellers ikke er af anden grad; der er ingen begrænsninger på og . Løsningerne til andengradsligningen kaldes dens rødder; en andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 rødder.

Såfremt man arbejder inden for de reele tal , betegnes den ubekendte normalt , men anden navngivning kan forekomme. Hvis ligningen ønskes løst inden for de komplekse tal , betegnes den ubekendte normalt :

Komplekse andengradsligninger behandles i artiklen om komplekse tal.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

Ligning    Kommentar
  
  
  
   Samme ligning, blot med som ubekendt
   eller
   "Iklædt" andengradsligning med som ukendt:
  

Løsning af en andengradsligning[redigér | redigér wikikode]

Idéen i løsninger er at supplere anden- og førstegradsleddene med yderligere et led, således at de tre led kan omskrives ved hjælp af første kvadratsætning, som her skrives på formen

Vi skal nu prøve at identificere med andengradsleddet og med førstegradsleddet . Imidlertid er ikke et kvadrat. Men det kan opnås ved at multiplicere ligningen med en snedigt valgt faktor, som dels gør leddet kvadratisk og dels udskyder en trælsom division til allersidst:

      Den givne ligning
    Multiplikation med ; lovligt, da
    Faktorisering og addition af
    Anvendelse af første kvadratsætning.
    Konstantled flyttes til højre side
    Kombinationen af koefficienterne betegnes
 

Vi har her indført andengradsligningens diskriminant givet ved

.

Diskriminantens fortegn bruges til at skelne (diskriminere) mellem antallet af løsninger til ligningen, hvilket udredes i det følgende. Vi arbejder videre med den fundne ligning,

    Venstre side er et kvadrat og derfor ikke-negativ.
  Højre side er negativ.
  Lighedstegnet er derfor ikke opfyldt.
  Andengradsligningen har ingen løsninger.
 
      Anvendelse af nulreglen.
    Lovlig division, da .
  Andengradsligningen har én løsning: .
 
      Diskriminanten omskrives til .
    Tredje kvadratsætning benyttes.
    Anvendelse af nulreglen.
    Lovlig division, da .
  Andengradsligningen har to løsninger: og .

Eksempler på løsninger[redigér | redigér wikikode]

I alle tilfælde starter man med at beregne diskriminanten .

Ligning Løsning
Ingen løsninger
Én løsning:

To løsninger:

To løsninger:









Normeret andengradsligning[redigér | redigér wikikode]

Da , kan enhver andengradsligning divideres igennem med , hvorved den får formen

Ligningen siges nu at være normeret[4]. En normeret andengradsligning med to rødder og kan ifølge nul-reglen skrives på formen[5]

eller

Ved sammenligning af de to udtryk ser vi at

   Røddernes sum er koefficienten til førstegradsleddet med modsat fortegn
   Røddernes produkt er lig konstantleddet.

Har man en formodning om, at en forelagt ligning har to simple rødder, kan man undertiden bruge disse regler til ved hovedregning at finde rødderne; man siger uformelt, at man kaster et skarpt blik på ligningen.

Eksempel:

I ligningen er konstantleddet lig , der kan være produktet af og , og samt og og og . Da summen skal være , må rødderne være og .

Numerisk beregning af rødder[redigér | redigér wikikode]

Med ovenstående formler er andengradsligningen løst matematisk. Men ved praktisk beregning kan der opstå et problem med ciffertab ved subtraktion af to næsten lige store størrelser, fordi beregningen sker med et endeligt antal betydende cifre; for eksempel yder regnearket Excel 14 - 15 betydende cifre (side på engelsk).

I løsningsformlen for en andengradsligning indgår de to størrelser og . Hvis

så bliver differensen

med et katastrofalt tab i antallet af betydende cifre.

Dette problem kan man imidlertid undgå ved at udnytte, at røddernes produkt (jfr. forrige afsnit) er . Algoritmen bliver derfor følgende:

  • Beregn diskriminanten , der her antages positiv.
  • Hvis , så er både og negative: Sæt og .
  • Hvis , så er både og positive: Sæt og .

Eksempel:

Andengradsligningen

er konstrueret til at have de eksakte rødder og . Dens diskriminant er

.

Vælges , fås ligningen og diskriminanten .

Tabellen herunder viser, hvike resultater man når frem til med de "matematiske" formler for og og den "numeriske" formel for , såfremt alle beregninger udføres med 6 betydende cifre.


Klassisk

Klassisk

Fra

Som det ses, svigter den klassiske metode i de to sidste situationer, medens den modificerede fremgangsmåde leverer korrekte rødder.

Andengradsulighed[redigér | redigér wikikode]

En andengradsulighed [6] er et åbent udsagn af typen

hvor .

Løsningsmængden , dvs. samlingen ef -værdier, som gør det åbne udsagn sandt, findes ved først at løse den tilhørende andengradsligning og derefter foretage en fortegnsundersøgelse for det tilhørende andengradspolynomium .

Eksempler på andengradsuligheder[redigér | redigér wikikode]

Eksempel 1

Den tilhørende andengradsligning ses ved anvendelse af løsningsmetoden ovenfor (eller ved at kaste et skarpt blik på den) at have rødderne og . Sættes , fås resultatet , der ikke er mindre end nul.

Fortegnsaksen viser nulpunkter og fortegnsvariation for andengradspolynomiet .

Polynomiets fortegnsvariation må da være som vist på fortegnsaksen herover. Løsningsmængden kan nu aflæses:

Eksempel 2:

Eksempel 3:

Eksempel 4:

Grafer og for de to andengradspolynomier og . Løsningsmængden til andengradsuligheden er vist med et rødt lijestykke. Løsningsmængden til uligheden er vist med to blå halvlinjer.

Uligheden omskrives til standardform:

Andengradsligningen har rødderne og , og da udtrykkets værdi for er negativt, ligger løsningsmængden uden for rodintervallet:

.

Løsningerne kan illustreres ved at tegne graferne for de to involverede andengradspolynomier,

og

Uligheden fra eksempel 1 svarer da til at spørge om, for hvilke -værdier grafen for ligger under førsteaksen, medens dobbeltuligheden svar til at spørge om, for hvilke -værdier grafen for ligger over eller på grafen for .

Kilder[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ Erik Kristensen, Ole Rindung: Matematik I, G.E.C.Gads Forlag, 1968, side 156 f.
  2. ^ Jens Carstensen, Jesper Frandsen: Matematik 1, Systime 1988, side 45 f.
  3. ^ Esper Fogh, Knud Erik Nielsen: Vejen til matematik AB 1, Forlaget Hax, 2005, side 43 f.
  4. ^ Kristensen og Rindung, side 162
  5. ^ Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN: 87-88049-18-3 (s. 117)
  6. ^ Kristensen og Rindung, side 161