Andengradsligning

Figur 1: Parabel

En andengradsligning i matematik er en ligning, der kan skrives på formen:

$ax^{2}+bx+c\ =0\quad ,\quad a\neq 0$,

idet a, b og c er konstanter, der repræsenterer kendte eller ukendte talværdier. Andengradsligningen bruges især, når man skal beregne, hvor en parabel, bestemt ved andengradspolynomiet ^[1]

$f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c\quad ,\quad a\neq 0$

eventuelt skærer x-aksen og har sit toppunkt $\left(s,t\right)$, givet ved:

$s={\frac {-b}{2a}}$ og $t={\frac {-d}{4a}}$,

idet diskriminanten $d=b^{2}-4ac$.

Skærer parablen x-aksen to steder, som det er tilfældet i figur 1, er skæringspunkternes førstekoordinater bestemt ved:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2a}}$ og $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2a}}$,

mens andenkoordinaterne begge er nul. Har ligningen kun én rod, er skærings- eller rettere røringspunktet sammenfaldende med toppunktet. Det vises nedenfor, hvordan formlerne kan udledes, dvs. bevises, men forinden skal det kort nævnes, at hvis

• d < 0, er der ingen rødder, da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal.
• d = 0, er der kun én dobbeltrod, idet x₁ og x₂ giver samme resultat.
• d > 0, er der to forskellige rødder, idet x₁ og x₂ giver forskellige resultater.

Toppunktet bestemmes

Da parablen er symmetrisk omkring den lodrette, stiplede linje, der går gennem toppunktet (jf. figur 1 samt Bevis for parablens symmetri), kan s beregnes ved at bestemme x i nedenstående ligning, hvor h er et vilkårligt reelt tal:

$f\left(x-h\right)=f\left(x+h\right)\Longleftrightarrow$

$a\left(x-h\right)^{2}+b\left(x-h\right)+c=a\left(x+h\right)^{2}+b\left(x+h\right)+c\Longleftrightarrow$

$a\left(x-h\right)^{2}-a\left(x+h\right)^{2}=b\left(x+h\right)-b\left(x-h\right)\Longleftrightarrow$

$a\left(\left(x-h\right)^{2}-\left(x+h\right)^{2}\right)=b\left(\left(x+h\right)-\left(x-h\right)\right)\Longleftrightarrow$

$a\left(\left(\left(x-h\right)+\left(x+h\right)\right)\left(\left(x-h\right)-\left(x+h\right)\right)\right)=b\left(h+h\right)$,

idet vi netop har anvendt kvadratsætningen, ifølge hvilken det gælder, at differencen mellem to tals kvadrater er lig med de to tals sum ganget med de samme to tals differens. Her er de to tal ( x - h ) og ( x + h ). Efter hævning af diverse parenteser og yderligere reduktion finder vi, at:

$a\left(\left(x+x\right)\left(-h-h\right)\right)=2bh\Longleftrightarrow$

$2ax\left(-2h\right)=2bh\Longleftrightarrow 2ax=-b\Longrightarrow$

$s={\frac {-b}{2a}}$.

Med fundet af toppunktets x-værdi s kan andenkoordinaten t bestemmes således:

$t=f\left({\frac {-b}{2a}}\right)$

$=as^{2}+bs+c$

$=a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}\right)+c$

$={\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+c$

$={\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-2b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac}{4a}}$

$={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Longleftrightarrow$

$t={\frac {-\left(b^{2}-4ac\right)}{4a}}={\frac {-d}{4a}}$.

Rødderne bestemmes

Med fundet af toppunktet $\left(s,t\right)$ kan andengradsligningen også skrives med Toppunktsnotation:

$a\left(x-s\right)^{2}+t=0\Longleftrightarrow$

$a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-d}{4a}}=0\Longleftrightarrow$

$a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}={\frac {d}{4a}}\Longleftrightarrow$

$\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}={\frac {d}{4a^{2}}}.$

Efter at vi har divideret med a på hver side af lighedstegnet, får vi, at:

$x-{\frac {-b}{2a}}={\frac {\sqrt {d}}{2a}}\Longrightarrow$

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2a}}$ og $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2a}}$.

Med fundet af røddernes førstekoordinater $x_{1}$ og $x_{2}$ kan andengradspolynomiet (parablens ligning) skrives sådan:

$y=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$.

Toppunkt ved hjælp af differentiation

Differentieres andengradspolynomiet, kan s også bestemmes som det x, i hvilket parablens tangent, der er et såkaldt approksimerende førstegradspolynomium, har hældningen 0 og dermed fremstår som en vandret linje. Det gøres sådan:

$f'\left(x\right)=0\Longleftrightarrow$

${\frac {d}{dx}}f\left(x\right)=0\Longleftrightarrow$

$2ax+b=0\Longrightarrow$

$s=-{\frac {b}{2a}}\Longrightarrow$

$t=f\left(s\right).$

Tangentligningen er herefter givet ved:

$y=f'\left(s\right)\left(x-s\right)+f\left(s\right).$

Bevis for parablens symmetri

Hvis parablen er symmetrisk omkring s, og h er et vilkårligt reelt tal, så gælder det for alle værdier af h, at:

$f\left(s+h\right)=f\left(s-h\right)\Longleftrightarrow$

$f\left({\frac {-b}{2a}}+h\right)=f\left({\frac {-b}{2a}}-h\right).$

Vi finder nu (enten manuelt eller ved hjælp af en CAS-regner), at

$f\left({\frac {-b}{2a}}+h\right)=a\left({\frac {-b}{2a}}+h\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}+h\right)+c=-{\frac {d}{4a}}+ah^{2}$

$f\left({\frac {-b}{2a}}-h\right)=a\left({\frac {-b}{2a}}-h\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}-h\right)+c=-{\frac {d}{4a}}+ah^{2}$.

Da højresiderne i de to ovenstående ligninger er ens, kan vi konkludere, at venstresiderne også er det. Sættes h lig med nul, ser vi, at toppunktets andenkoordinat t i begge tilfælde er givet ved:

$t={\frac {-d}{4a}}$ , og hermed er beviset fuldført.

Toppunktsnotation (vertex form)

Skrivemåden $a\left(x-s\right)^{2}+t=0$,

der tillader horisontal og vertikal forskydning af parablen ved ændring af s og t, fås på følgende måde:

$y=a\left(x-s\right)^{2}+t\Longleftrightarrow$

$y=a\left(x^{2}+s^{2}-2sx\right)+t\Longleftrightarrow$

$y=ax^{2}-2asx+as^{2}+t,$

hvori formlerne for s og t indsættes:

$y=ax^{2}-2a\left({\frac {-b}{2a}}\right)x+a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-\left(b^{2}-4ac\right)}{4a}}\Longleftrightarrow$

$y=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\Longleftrightarrow$

$y=ax^{2}+bx+c\Longrightarrow$

$ax^{2}+bx+c=0.$

Polynomiumsbegrebet

Egentlig er et polynomium hverken en funktion eller en ligning, men blot en (fler)leddet størrelse, hvis led har en række nærmere bestemte karakteristika. Alligevel kaldes fx parablens ligning/funktionsforskrift på dansk for et andengradspolynomium, hvor man på engelsk benytter betegnelsen polynomial (dvs. polynomiumsagtig eller polynomiumslignende) function/equation, så snart størrelsen optræder i forbindelse med et lighedstegn! I en del opslagsværker bliver det nævnt, at 'poly' betyder mange, mens 'nomium' er afledt af det latinske begreb nomen, der betyder navn eller term eller lignende, uden at det gøres rigtigt klart, hvad det er, der er (eller kan være) mange af. Men det er altså det/de nærmere bestemte led, der refereres til, selvom et polynomium sagtens kan bestå af kun ét led.

Se også

• Begrebet polynomium.

Eksterne henvisninger

• WEBmatematik - Polynomium vs ligning (en gratis tjeneste fra Matematikcenter)

• FriViden - Andengradspolynomier og andengradsligninger
• Polynomial - Wikipedia