Andengradsligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Løsningerne til andengradsligningen er rødderne til et andengradspolynomium.

En andengradsligning i matematik er en ligning, der kan skrives på formen:

,

idet a, b og c er konstanter. Andengradsligningens løsninger er rødderne til det tilsvarende andengradspolynomium.

Ligningens løsninger[redigér | redigér wikikode]

Den generelle løsning er:

hvor udtrykket i kvadratroden er diskriminanten :

Diskriminanten er afgørende for hvilke løsninger, der er mulige. Det gælder:

  • : 2 reelle løsninger:
  • : 1 reel løsning; denne løsning kaldes en dobbeltrod.
  • : Ingen reelle løsninger, men 2 komplekst konjugerede løsninger. Dette sker, fordi kvadratroden tages af et negativt tal.

Udledning af ligningens løsninger[redigér | redigér wikikode]

For at løse andengradsligningen er det praktisk at opskrive den vha. toppunktsnotation, hvor ekstremum er :

Det ses, at kun optræder et enkelt sted, og det er derfor nemmere at isolere:

Således er isoleret. Ekstremum (, ) er givet ved:

Dette indsættes i udtrykket for :

Diskriminanten indsættes:

Ligningen er nu løst.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]