Andengradsligning

Løsningerne til andengradsligningen er rødderne til et andengradspolynomium.

En andengradsligning i matematik er en ligning, der kan skrives på formen:

$ax^{2}+bx+c\ =0\quad ,\quad a\neq 0$,

idet a, b og c er konstanter. Andengradsligningens løsninger er rødderne til det tilsvarende andengradspolynomium.

Ligningens løsninger

Den generelle løsning er:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

hvor udtrykket i kvadratroden er diskriminanten $d$:

$d=b^{2}-4ac$

Diskriminanten er afgørende for hvilke løsninger, der er mulige. Det gælder:

• $d>0$: 2 reelle løsninger:
• $d=0$: 1 reel løsning; denne løsning kaldes en dobbeltrod.
• $d<0$: Ingen reelle løsninger, men 2 komplekst konjugerede løsninger. Dette sker, fordi kvadratroden tages af et negativt tal.

Udledning af ligningens løsninger

For at løse andengradsligningen er det praktisk at opskrive den vha. toppunktsnotation, hvor ekstremum er $\left(s,t\right)$:

$a\left(x-s\right)^{2}+t=0$

Det ses, at $x$ kun optræder et enkelt sted, og det er derfor nemmere at isolere:

${\begin{aligned}a\left(x-s\right)^{2}+t&=0\\\left(x-s\right)^{2}&=-{\frac {t}{a}}\\x-s&=\pm {\sqrt {-{\frac {t}{a}}}}\\x&=s\pm {\sqrt {-{\frac {t}{a}}}}\end{aligned}}$

Således er $x$ isoleret. Ekstremum ($s$, $t$) er givet ved:

${\begin{aligned}s&=-{\frac {b}{2a}}\\t&=-{\frac {d}{4a}}\end{aligned}}$

Dette indsættes i udtrykket for $x$:

${\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {d}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {d}}}{2a}}\end{aligned}}$

Diskriminanten indsættes:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Ligningen er nu løst.

Eksterne henvisninger

• WEBmatematik - Polynomium vs ligning (en gratis tjeneste fra Matematikcenter)
• FriViden - Andengradspolynomier og andengradsligninger