Rødderne (løsningerne) til en
andengradsligning med koefficienterne

,

og

kan sammenfattes i den viste ligning.
Ved en andengradsligning[1][2][3] forstås en ligning på formen

Størrelserne
,
og
kaldes andengradsligningen koefficienter og
er den ubekendte, hvis værdi skal bestemmes med ligningen. Det første led,
kaldes andengradsleddet,
er førstegradsleddet og
er konstantleddet (eller nultegradsleddet). Koefficeienten
må kræves at være forskellig fra nul, da ligningen ellers ikke er af anden grad; der er ingen begrænsninger på
og
. Løsningerne til andengradsligningen kaldes dens rødder; en andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 rødder.
Såfremt man arbejder inden for de reele tal
, betegnes den ubekendte normalt
, men anden navngivning kan forekomme. Hvis ligningen ønskes løst inden for de komplekse tal
, betegnes den ubekendte normalt
:

Komplekse andengradsligninger behandles i artiklen om komplekse tal.
Ligning
|
|
Kommentar
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Samme ligning, blot med som ubekendt
|
|
|
eller
|
|
|
"Iklædt" andengradsligning med som ukendt:
|
|
|
|
Idéen i løsninger er at supplere anden- og førstegradsleddene med yderligere et led, således at de tre led kan omskrives ved hjælp af første kvadratsætning, som her skrives på formen

Vi skal nu prøve at identificere
med andengradsleddet
og
med førstegradsleddet
. Imidlertid er
ikke et kvadrat. Men det kan opnås ved at multiplicere ligningen med en snedigt valgt faktor, som dels gør leddet kvadratisk og dels udskyder en trælsom division til allersidst:
|
|
|
|
Den givne ligning
|
|
|
|
|
Multiplikation med ; lovligt, da
|
|
|
|
|
Faktorisering og addition af
|
|
|
|
|
Anvendelse af første kvadratsætning.
|
|
|
|
|
Konstantled flyttes til højre side
|
|
|
|
|
Kombinationen af koefficienterne betegnes
|
|
Vi har her indført andengradsligningens diskriminant givet ved
.
Diskriminantens fortegn bruges til at skelne (diskriminere) mellem antallet af løsninger til ligningen, hvilket udredes i det følgende. Vi arbejder videre med den fundne ligning,

|
|
|
|
|
|
Venstre side er et kvadrat og derfor ikke-negativ. Højre side er negativ. Lighedstegnet er derfor ikke opfyldt.
|
Andengradsligningen har ingen løsninger.
|
|
|
|
|
Anvendelse af nulreglen.
|
|
Lovlig division, da .
|
Andengradsligningen har én løsning: .
|
|
|
|
|
Diskriminanten omskrives til .
|
|
Tredje kvadratsætning benyttes.
|
|
Anvendelse af nulreglen.
|
|
Lovlig division, da .
|
Andengradsligningen har to løsninger: og .
|
I alle tilfælde starter man med at beregne diskriminanten
.
Da
, kan enhver andengradsligning divideres igennem med
, hvorved den får formen

Ligningen siges nu at være normeret[4]. En normeret andengradsligning med to rødder
og
kan ifølge nul-reglen skrives på formen[5]

eller

Ved sammenligning af de to udtryk ser vi at
|
|
Røddernes sum er koefficienten til førstegradsleddet med modsat fortegn
|
|
|
Røddernes produkt er lig konstantleddet.
|
Har man en formodning om, at en forelagt ligning har to simple rødder, kan man undertiden bruge disse regler til ved hovedregning at finde rødderne; man siger uformelt, at man kaster et skarpt blik på ligningen.
Eksempel:
I ligningen
er konstantleddet lig
, der kan være produktet af
og
,
og
samt
og
og
og
. Da summen skal være
, må rødderne være
og
.
Med ovenstående formler er andengradsligningen
løst matematisk. Men ved praktisk beregning kan der opstå et problem med ciffertab ved subtraktion af to næsten lige store størrelser, fordi beregningen sker med et endeligt antal betydende cifre; for eksempel yder regnearket Excel 14 - 15 betydende cifre (side på engelsk).
I løsningsformlen for en andengradsligning indgår de to størrelser
og
. Hvis


så bliver differensen

med et katastrofalt tab i antallet af betydende cifre.
Dette problem kan man imidlertid undgå ved at udnytte, at røddernes produkt (jfr. forrige afsnit) er
. Algoritmen bliver derfor følgende:
- Beregn diskriminanten
, der her antages positiv.
- Hvis
, så er både
og
negative: Sæt
og
.
- Hvis
, så er både
og
positive: Sæt
og
.
Eksempel:
Andengradsligningen

er konstrueret til at have de eksakte rødder
og
. Dens diskriminant er
.
Vælges
, fås ligningen
og diskriminanten
.
Tabellen herunder viser, hvike resultater man når frem til med de "matematiske" formler for
og
og den "numeriske" formel for
, såfremt alle beregninger udføres med 6 betydende cifre.
|
|
|
|
|
|
|
Klassisk
|
Klassisk
|
Fra
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Som det ses, svigter den klassiske metode i de to sidste situationer, medens den modificerede fremgangsmåde leverer korrekte rødder.
En andengradsulighed [6] er et åbent udsagn af typen




hvor
.
Løsningsmængden
, dvs. samlingen ef
-værdier, som gør det åbne udsagn sandt, findes ved først at løse den tilhørende andengradsligning
og derefter foretage en fortegnsundersøgelse for det tilhørende andengradspolynomium
.
Eksempel 1

Den tilhørende andengradsligning
ses ved anvendelse af løsningsmetoden ovenfor (eller ved at kaste et skarpt blik på den) at have rødderne
og
. Sættes
, fås resultatet
, der ikke er mindre end nul.
Fortegnsaksen viser nulpunkter og fortegnsvariation for andengradspolynomiet

.
Polynomiets fortegnsvariation må da være som vist på fortegnsaksen herover. Løsningsmængden
kan nu aflæses:
![{\displaystyle x^{2}+6\cdot x+5<0\quad \Rightarrow \quad L\,=]-5;\,-1[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29358a99d156bdcf5d58bf47a284872af0dadc3a)
Eksempel 2:
![{\displaystyle x^{2}+6\cdot x+5\leqq 0\quad \Rightarrow \quad L=\,[-5;\,-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52771ab8cbe5e75a5593496811186c992ce581e2)
Eksempel 3:
![{\displaystyle x^{2}+6\cdot x+5>0\quad \Rightarrow \quad L\,=]-\infty ;-5[\;\cup \;]-1;\,+\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9c4dbbbaf9f082caff2eeee4e2f09fa9e94b76)
Eksempel 4:
Grafer

og

for de to andengradspolynomier

og

. Løsningsmængden til andengradsuligheden

er vist med et rødt lijestykke. Løsningsmængden til uligheden

er vist med to blå halvlinjer.

Uligheden omskrives til standardform:

Andengradsligningen
har rødderne
og
, og da udtrykkets værdi for
er negativt, ligger løsningsmængden uden for rodintervallet:
.
Løsningerne kan illustreres ved at tegne graferne for de to involverede andengradspolynomier,
og
Uligheden fra eksempel 1 svarer da til at spørge om, for hvilke
-værdier grafen for
ligger under førsteaksen, medens dobbeltuligheden svar til at spørge om, for hvilke
-værdier grafen for
ligger over eller på grafen for
.
- ^ Erik Kristensen, Ole Rindung: Matematik I, G.E.C.Gads Forlag, 1968, side 156 f.
- ^ Jens Carstensen, Jesper Frandsen: Matematik 1, Systime 1988, side 45 f.
- ^ Esper Fogh, Knud Erik Nielsen: Vejen til matematik AB 1, Forlaget Hax, 2005, side 43 f.
- ^ Kristensen og Rindung, side 162
- ^ Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3 (s. 117)
- ^ Kristensen og Rindung, side 161