Determinant

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En determinant er et tal, der karakteriserer en matrix. En determinant kan kort beskrives som "arealet" af den flade som vektorerne(søjlerne) udspænder. Her er det vigtigt at holde sig for øje, at det godt kan være et negativt tal. Der findes flere forskellige måder at bestemme determinanter på, og flere forskellige nyttige regneregler for determinanter, som er gennemgået herunder.

Bestemmelse af determinanter[redigér | redigér wikikode]

Determinanter er kun definerede for kvadratiske matricer. For en matrix \underline{\underline{A}}_{n \times n} siger man, at determinanten \det \underline{\underline{A}} er af n'te orden.

Leibniz-formlen[redigér | redigér wikikode]

For en matrix \underline{\underline{A}}_{n \times n} = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix} kan determinanten fås af Leibniz-formlen:

\det \underline{\underline{A}} = \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}

hvor \sigma angiver en permutation af tallene {1, 2, 3, ..., n}, S_n er mængden af mulige permutationer af disse tal, \sgn(\sigma) er fortegnet for permutationen og \Pi angiver et produkt (på samme måde som \Sigma angiver en sum). Specielt fås for n-værdierne 1-3:

n \det \underline{\underline{A}}_{n \times n}
1 a_{11}
2 a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
3 \begin{matrix}a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}\end{matrix}

Udvikling efter række eller søjle[redigér | redigér wikikode]

Determinanten af matricen \underline{\underline{A}}_{n \times n} = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix} kan også udtrykkes vha. n underdeterminanter af (n – 1)'te orden; dette gøres ved at udvikle efter en række eller søjle i \underline{\underline{A}}. Denne metode er specielt nyttig, hvis en række eller søjle indeholder mange nuller, idet der så ved udvikling efter denne vil bortfalde lige så mange af leddene i den passende formel herunder:

Ved udvikling efter den i'te række fås determinanten af

\det \underline{\underline{A}}  = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}D_{ij}
 = (-1)^{i+1}a_{i1}D_{i1} + (-1)^{i+2}a_{i2}D_{i2} + \cdots + (-1)^{i+n}a_{in}D_{in}

Ved udvikling efter den j'te søjle fås determinanten af

\det \underline{\underline{A}}  = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}D_{ij}
 = (-1)^{1+j}a_{1j}D_{1j} + (-1)^{2+j}a_{2j}D_{2j} + \cdots + (-1)^{n+j}a_{nj}D_{nj}

Herover betegner D_{ij} den (i, j)'te underdeterminant hørende til \underline{\underline{A}}, dvs. determinanten til den matrix, der fremkommer ved at fjerne den i'te række og den j'te søjle fra \underline{\underline{A}}. Størrelsen

(-1)^{i+j}D_{ij}

kaldes komplementet til matrixelementet a_{ij}.

Regneregler og særtilfælde[redigér | redigér wikikode]

Matrixegenskaber og determinanter[redigér | redigér wikikode]

For en enhedsmatrix \underline{\underline{I}} gælder

\det \underline{\underline{I}} = 1

For en diagonal- eller trekantmatrix \underline{\underline{A}}_{n \times n} = \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix} gælder

\det \underline{\underline{A}} = \prod_{i=1}^n a_{ii} = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}

Hvis en kvadratisk matrix \underline{\underline{A}} indeholder en nulrække, da gælder

\det \underline{\underline{A}} = 0

For en kvadratisk matrix \underline{\underline{A}}_{n \times n} er følgende tre udtryk ækvivalente:

  • \underline{\underline{A}} er regulær
  • \det \underline{\underline{A}} \ne 0
  • \rho(\underline{\underline{A}}) = n

NB: En matrix behøver ikke være kvadratisk for at kunne være regulær.

Transponering, invertering og multiplikation af matricer[redigér | redigér wikikode]

For en kvadratisk matrix \underline{\underline{A}} gælder

\det \underline{\underline{A}}^T = \det \underline{\underline{A}}

For en regulær kvadratisk matrix \underline{\underline{A}} gælder

\det(\underline{\underline{A}}^{-1}) = \frac{1}{\det \underline{\underline{A}}}

For to matricer \underline{\underline{A}}_{n \times n} og \underline{\underline{B}}_{n \times n} gælder

\det(\underline{\underline{A}} \underline{\underline{B}}) = \det \underline{\underline{A}} \cdot \det \underline{\underline{B}}

Elementaroperationer på matricer[redigér | redigér wikikode]

Hvis en matrix \underline{\underline{B}} frembringes ved én af disse elementaroperationer på en anden matrix \underline{\underline{A}}, fås dens determinant af:

  • Ombytning af 2 rækker:
\det \underline{\underline{B}} = -\det \underline{\underline{A}}
  • Multiplikation af 1 række med tal k:
\det \underline{\underline{B}} = k \det \underline{\underline{A}}
  • Rækkeoperation (træk en række fra en anden):
\det \underline{\underline{B}} = \det \underline{\underline{A}}

Beviser[redigér | redigér wikikode]

I dette afsnit vil vi bevise nogle af de overstående påstande, men vi starter med en simpel definition af determinanter:

Definition[redigér | redigér wikikode]

Lad A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F}). Hvis n = 1 defineres \det(A) = a_{11}. Hvis n > 1 defineres determinanten rekursivt ved

\det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{1i} \det(A_{1,i})

hvor A_{i,j} fremkommer af A ved at fjerne i'te række og j'te søjle.

Rækkeombytning[redigér | redigér wikikode]

Lad B fremkomme af A ved at bytte om på to rækker, da gælder at

\det(B) = -\det(A)

Dette kan bevises induktivt. Hvis n=2 og B fremkommer ved at bytte om på de to rækker i A, da har vi at

\det(A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21 }= - (a_{12} a_{21} -
a_{11} a_{22})= - (b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21}) = -\det(B).

Antags eller at resultatet gælder for n-1, må vi vise at det gælder for n. Hvis vi ikke har byttet om på første række må


\det(B) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{1i} \det(B_{1,i}) = \sum_{i=1}^n
(-1)^{i+1} a_{1i} - \det(A_{1,i}) = - \det(A)

idet B_{1i} fremkommer af A_{1,i} ved at bytte om på to rækker, og induktionsantagelsen derfor virker.

Ellers må 1'te og j'te række være ombyttet. Dan C ved at bytte om på 2. og j'te række i B. Dan D ved at bytte om på 2. og j'te række i A, da fremkommer D også ved at bytte om på 1. og 2. række i C, og det må gælde at C_{12,ij} = D_{12,ij}, af induktionsantages får vi at \det(C_{1,i}) = -\det(B_{1,i}) og \det(D_{1,i}) = - \det(A_{1,i})


\det(B) = -\det(C) = - \sum_{g=1}^n (-1)^{1+g} a_{jg} \det(C_{1,g})

 = - \sum_{g=1}^n \sum_{(k=1, k \neq g)}^n (-1)^{k+g+\delta(k>g)} a_{jg} a_{1k} \det(C_{12,ij})
= \sum_{k=1}^n \sum_{(g=1, q \neq k)}^n
      (-1)^{k+g+\delta(k<g)} a_{jg} a_{1k} \det(D_{12,ij})
= \sum_{k=1}^n (-1)^{1+k} a_{1k} \det(D_{1,k}) = \det(D) = - \det(A)

Ens rækker[redigér | redigér wikikode]

Hvis A har to ens rækker er \det(A) = 0.

Dette er nemt at indse. Dan B ved at bytte om på de to ens række i A, da har vi at \det(A) = -\det(B) men A og B er jo ens, så \det(A) = -\det(A), dette kan kun lade sig gøre hvis \det(A)=0

Rækkeaddition[redigér | redigér wikikode]

Hvis B er dannet af A, ved at lægge i'te række r gange til j'te række. da vil \det(A) = \det(B)

Dette kan bevises som følger. Dan C ved at bytte på 1. og j'te række i A. Dan D ved at bytte om på 1. og j'te række i B, af reglen om række ombytning er det nok at vise at \det(C) = \det(D), idet vi bemærker at D også fremkommver ved at lægge i'te række r gange til 1. række af C bliver det klart at

 \det(D) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} d_{1k} \det(D_{1,k}) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} (c_{1k} + r c_{ik}) \det(C_{1,k})

 = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} c_{1k} \det(C_{1,k}) + r \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} r c_{ik} \det(C_{1,k}) = \det(C) + r \det(N)

Hvor N fremkommer af C ved at restatte 1. med i'te række, men så har N to ens rækker og så har den jo determinant 0.

Rækkeskalering[redigér | redigér wikikode]

Hvis B er dannet af A, ved at gange i'te række igennem med r (ikke 0), da er \det(B) = r \det(A)

Dette kan bevises som følger. Som før kan vi af rækkeombytnings-egenskaben og uden tab af generalitet antage at i=1, så  \det(B) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} r a_{1i} = r \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{1i} = r \det(A)

Invertibilitet[redigér | redigér wikikode]

Matricen A er invertibel hvis og kun hvis \det(A) \neq 0.

Der findes H i RREFA \sim H, denne transformation fremkommer som en følge af rækkeoperationer af de foregående regler ved vi at \det(A) = r \det(H) hvor r \neq 0 men  \det(A) \neq 0 \Leftrightarrow \det(H) \neq 0 Men \det(H) \neq 0 præcis har H har fuld rang, og H har fuld rang præcis når A er invertibel.

Determinant af produkt[redigér | redigér wikikode]

Om matrixprodukter gælder at \det(AB) = \det(A)\det(B).

Her gælder følgende bevis. Hvis A er diagonal følger det af rækkeskalationsreglen at

\det(AB) = a_{11} \ldots a_{nn} \det(B)

Hvis A er singulær er AB singulær. Af invertabilitetsreglen følger så, at de begge har determinant 0, ellers må A være invertibel, og med rækkeaditioner og r række ombytninger kan man danne D fra A så D er diagonal. Af de ovenstående regler ses at

\det(A) = (-1)^r \det(D)

Lad E være produktet af de tilhørende rækkeoperationsmatricer så EA = D, men så må

E(AB) = (EA)B = DB

i kan altså udføre de samme rækkeoprationer på AB, så

\det(AB) = (-1)^r \det(DB) = (-1)^r \det(D) \det(B) = \det(A) \det(B)

Determinant af invers[redigér | redigér wikikode]

Hvis A er invertibel vil \det(A) = \det(A^{-1})^{-1}

Med overstående regel er det nemt at se, da I = A^{-1} A1 = \det(I) = \det(A^{-1}) \det(A)

Determinant af transponeret[redigér | redigér wikikode]

Det gælder altid at \det(A) = \det(A^T)

Hvis A er singulær er A^T det også og så vil  \det(A) = 0 = \det(A^T), ellers kan A opskrives som et produkt af række ombytnings matricer og række additions matricer og en diagonal matice så,

A=E_1 \ldots E_k D

Hvis E_i er en række-ombytnings-matrice, så er E_i^T det også. Af række-ombytnings-reglen har de samme determinant nemlig -1. Ellers må E_i være en række-additions-matrice, og så er E_i^T også være det, af række-additions-reglen har de samme determinant nemlig 1, af produktreglen ses at 
\det(A^T)=\det(E_1^T) \ldots \det(E_k^T) \det(D^T) = \det(E_1) \ldots \det(E_k) \det(D) = \det(A)