Fordelingsfunktion

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Inden for sandsynlighedsregning er en fordelingsfunktion for en stokastisk variabel en særlig funktion hvorudfra alt det sandsynlighedsmæssigt interessante (fordelingen) ved kan udledes.

Definition[redigér | redigér wikikode]

Værdien af fordelingsfunktionen i et punkt er defineret som sandsynligheden for at den betragtede stokastiske variabel højst er , altså

hvor er sandsynlighedsmålet.

Simpel anvendelse[redigér | redigér wikikode]

Ovenstående kan også fortolkes som en interval-sandsynlighed:

Ønsker man et begrænset interval, foregår det simpelthen således:

Ekstra omhu må udvises ved endepunkterne. For eksempel fås sandsynligheden for et kompakt interval ved

hvor grænseværdien er for gående mod fra venstre. Tilsvarende er punktsandsynligheden

Egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Enhver fordelingsfunktion har følgende egenskaber:

  • er (ikke nødvendigvis strengt) voksende. Det vil sige at medfører .
  • har asymptoterne for , samt for .
  • er kontinuert fra højre men ikke nødvendigvis kontinuert. Altså for i ethvert punkt .

Omvendt vil en vilkårlig funktion med ovennævnte egenskaber være en fordelingsfunktion for en passende stokastisk variabel (i et passende sandsynlighedsfelt).

Såfremt er en kontinuert funktion (altså også fra venstre), behøver man ikke at bekymre sig om hvorvidt endepunkter er med eller ej (ulighedstegn er skarpe eller bløde). Det er tilfældet netop hvis alle punktsandsynligheder er nul.

Hvis fordelingen endda er absolut kontinuert, eksisterer der en passende funktion (se tæthedsfunktion) således at fordelingsfunktionen fremkommer ved integration: . En absolut kontinuert fordeling er også kontinuert.

Hvis den stokastiske variabel er diskret, er grafen for en trappekurve bestående af vandrette linjestykker. Springene som tager mellem "trinnene", svarer da til punktsandsynlighederne, og kan da beregnes ved at summere alle disse spring op til det betragtede punkt.