Ulighed (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En ulighed er et matematisk begreb for et udtryk, der fastslår at ét regneudtryk er større end eller evt. lig med, et andet regneudtryk. Ligesom med ligninger indgår der en eller evt. flere ubekendte størrelser (et tal repræsenteret ved f.eks. bogstavet x) i ét eller begge regneudtryk. De regneregler der gælder for ligninger kan også bruges til at løse uligheder, men hvor ligninger typisk tilfredsstilles af ét eller nogle få bestemte tal, er løsningsmængden for en ulighed oftest et interval, eller evt. en foreningsmængde af flere intervaller af værdier der tilfredsstiller den oprindelige ulighed.

Situationer hvor ulighedstegnet vender[redigér | redigér wikikode]

Hvor ligninger har et lighedstegn, har en ulighed ét af fire følgende såkaldte ulighedstegn:

  • < som læses "er mindre end"
  • ≤ som læses "er mindre end eller lig med"
  • > som læses "er større end"
  • ≥ som læses "er større end eller lig med"

Ulighederne "<" og ">" kaldes også for skarpe uligheder, og bliver ofte for præcisionens skyld udtalt som "er skarpt mindre end" hhv. "er skarpt større end". Ligeledes refererer ordet "skarpt" i almindelighed til, at der ikke kan gælde lighedstegn. Ganske som med ligningerne kan man i en ulighed multiplicere eller dividere regneudtrykkene på begge sider af ulighedstegnet med det samme tal, undtaget 0, men for ulighedernes vedkommende skal man, hvis man multiplicerer eller dividerer med et negativt tal, vende ulighedstegnet. Det illustreres lettest ved at multiplicere nogle simple uligheder med -1:

  • \frac{1}{2} < 1 bliver til -\frac{1}{2} > -1
  • 2 \ge 1 bliver til -2 \le -1

Dette betyder også at man skal være varsom med at multiplicere eller dividere med eventuelle ubekendte størrelser; indtil uligheden er løst, kan man jo ikke vide om den ubekendte er negativ eller positiv, eller om det eventuelt findes både positive og negative tal der tilfredsttiller uligheden.

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

x\cdot 2-3 > (4+5)\cdot 2 :
x\cdot 2 > (4+5)\cdot 2+3 :
x\cdot 2 > 9\cdot 2+3 :
x\cdot 2 > 18+3 :
x\cdot 2 > 21 :
x\cdot \frac{2}{2} > \frac{21}{2}  :
x > \underline{\underline{10.5}}