Hölders ulighed

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I matematisk analyse er Hölders ulighed en fundamental ulighed, der relaterer Lp-rum, som er opkaldt efter den tyske matematiker Otto Hölder.

Lad S være et målrum, lad 1 ≤ p, q ≤ ∞ med 1/p + 1/q = 1 og lad f og g være målelige funktioner. Da gælder

Specielt gælder for f i Lp(S) og g i Lq(S), at fg ligger i L1(S).

Tallene p og q kaldes hinandens Hölderkonjugerede.

Hölders ulighed bruges til at vise trekantsuligheden i Lp og Minkowkis ulighed og bruges ligeledes til at opnå, at Lp og Lq er duale rum.

Hölders ulighed blev først fundet af Leonard James Rogers i 1888 og genopdaget af Hölder i 1889.

Vigtige specialtilfælde[redigér | redigér wikikode]

Bevis[redigér | redigér wikikode]

Beviset for uligheden hænger på Youngs ulighed: for ikke-negative a og 1/p ∈ (0,1) med 1/p+1/q=1 gælder

og der gælder lighed hvis og kun hvis ap = bq

Hölders ulighed er triviel at vise, hvis enten f eller g har uendelig norm eller norm nul, så ved at dividere hver funktion med funktionens norm, kan det antages, at

Ved at bruge Youngs ulighed med a = |f(x)| og b = |g(x)|, fås for alle x i det pågældende målrum, at

Integration giver nu

hvilket viser påstanden.