Indhylningskurve

En familie af lige linjer samt den resulterende indhylningskurve.

En indhylningskurve (engelsk: envelope) er i geometrien en kontinuer kurve, hvor hvert punkt til sammen tangerer alle medlemmer af en familie af kurver.

Definition

Enhver kurve i to dimensioner kan skrives som:

$y=f_{t}(x)$

hvor $x$ og $y$ er koordinater, og $t$ er et parameter for kurvefamilien. Den kan dog også skrives som en funktion lig nul:

$g_{t}(x,y)=0$

Tilsvarende må der være en funktion $F$ lig nul for indhylningskurven:

$F(x,y,t)=0$

(1)

indhylningskurven gælder for alle værdier af $t$ – den skal dække hele familien – så:

$F(x,y,t_{1})=F(x,y,t_{2})=0$

Deraf følger, at

${\frac {F(x,y,t_{2})-F(x,y,t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}=0$

Når $t_{1}$ går mod $t_{2}$, er dette definitionen på en differentialkvotient:

${\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}=0$

(2)

Ligning 1 og 2 definerer indhylningskurven.

Eksempel

I denne familie går hver linje mellem punkterne ($t$,0), (0,$k-t$). Her er $k=1$.

Inden for string art er det almindeligt at lade lige snore gå fra søm til søm for derved at skabe nye former.

I et simpelt tilfælde forbinder hver snor punkterne $(t,0)$ og ($0,k-t)$, hvor $k$ er en konstant, og $t$ er familiens parameter. Den lige linje er da givet ved:

$y=-{\frac {k-t}{t}}x+k-t$

Ved at trække $y$ fra findes $F$:

$F(x,y,t)=-{\frac {kx}{t}}-t+k+x-y=0$

Den afledte er da:

${\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}={\frac {kx}{t^{2}}}-1=0$

Af denne ligning følger det, at:

$t={\sqrt {kx}}$

Dette indsættes i udtrykket for $F$, og $y$ isoleres:

${\begin{aligned}y=&-{\frac {kx}{\sqrt {kx}}}+x+k-{\sqrt {kx}}\\y=&x+k-2{\sqrt {kx}}\\y=&({\sqrt {x}}-{\sqrt {k}})^{2}\end{aligned}}$

Dermed er indhylningskurven fundet.