Invers funktion

I matematikken er en invers funktion simpelthen en funktion der gør det modsatte af en given funktion.

Notation og definition

Ved hjælp af sammensatte funktioner skal der for den inverse funktion gælde at $f^{-1}$ af funktionen $f$ og $f$ af funktionen $f^{-1}$:

$f^{-1}(f(x))=x\,\land f(f^{-1}(x))=x\,$

De to funktioner ophæver således hinanden og kaldes derfor hinandens inverse. Grafisk spejles de to om linjen $y=x$.

Den hævede tekst "-1" er ikke en eksponent. Tilsvarende betyder f ²(x) normalt ikke kvadratet på f(x), men derimod f gjort to gange: f(f(x)). Undtagelser fra dette er der i trigonometrien, hvor sin²(x) sædvandligvis betyder kvadratet på sin(x). For at vise den inverse funktion bruger man derfor ofte forstavelsen arc. I infinitesimalregningen angiver n i f ⁿ typisk den n'te afledte af f.

Et eksempel på en funktion og dens inverse er eksponentialfunktionen og logaritmefunktionen:

$\log _{a}(a^{x})=x\,$

og

$a^{\log _{a}(x)}=x\,$

Egenskaber

• Når en invers funktion eksisterer er den unik

• $(f^{-1}(x))'={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}$, for alle reelle x