Eksponentiel vækst

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
(Omdirigeret fra Eksponentialfunktion)
Gå til: navigation, søg
Illustrering af hvordan en funktion vokser eksponentielt

Den eksponentielle vækst er en måde, hvorpå en mængde kan forøges eller formindskes. Dette er f.eks. formeringen af bakterier eller henfald af radioaktive stoffer. Renters rente er også et eksempel på en eksponentiel vækst.

Matematisk udformning[redigér | redigér wikikode]

En eksponentiel vækst (også kaldt procentuel vækst) kan skrives på formen , En eksponentiel vækst vil danne en ret linje på enkeltlogaritmisk papir.

hvor og . er udviklingshastigheden – også kaldet grundtallet for funktionen.

Bemærk desuden at,

Kendes to punkter og kan konstanten findes ved formlen:

kan herefter findes ud fra eller : eller

Eksponentialfunktion[redigér | redigér wikikode]

Eksponentialfunktionen ex kan defineres på flere forskellige ækvivalente måder som en uendelig række. Specielt kan den defineres ved potensrækken:

eller som grænseværdien af en talfølge:

I disse definitioner er fakultetet af n, og x kan eksempelvis være et reelt tal, komplekst tal, et element i en Banachalgebra (eksempelvis en kvadratisk matrix) eller et element i legemet af p-adiske tal.

Bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanten i en eksponentialfunktion[redigér | redigér wikikode]

Fordoblingskonstanten og halveringskonstanten er udtryk der bruges om eksponentiel udvikling og fortæller, hvor langt man skal gå ud ad abscisseaksen for at få fordoblet (eller halveret) funktionsværdien, denne længde er nemlig konstant.

Sætningen[redigér | redigér wikikode]

En eksponentielt voksende funktion er generelt skrevet:



Fordoblings- og halveringskonstanten er i denne givet som:


Ved halveringskonstanten er det dog ikke log(2) men log(0,5) (som er det samme som -log(2)), altså gælder:


Dette skal bevises.

Beviset[redigér | redigér wikikode]

Vi ved, at når vi adderer til et givet punkt, så skal funktionsværdien blive dobbelt så stor. Udtrykt matematisk er dette:


Bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanten i en eksponentialfunktion

Hvis vi overfører dette til den generelle eksponentialfunktion, bliver det følgende.

Herefter benyttes almen og logarimisk algebra til at isolere .

Sætningen er dermed bevist.

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

Som et eksempel kigges på formeringen af bakterier: Start med fem bakterier og antag at en bakterie deler sig en gang i minuttet. Ved starten, dvs. ved tiden haves altså 5 bakterier. Efter et minut haves 10, efter to minutter 20, efter tre minutter 40, efter fire minutter 80.

Matematisk set vil det omtalte eksempel have formlen , hvor f(x) er antal bakterier og x betegner tiden i minutter. Efter f.eks. 10 minutter vil der altså være bakterier.

Væksthastighed[redigér | redigér wikikode]

Som det kan ses i eksemplet, vokser eksponentielle funktioner meget hurtigt. Det er en kendt regel, at de vokser hurtigere end potensfunktioner. Deres væksthastighed fås ved differentiering: Altså: En eksponentiel funktions væksthastighed er i sig selv en eksponentiel funktion. Faktisk vokser hastigheden hurtigere end selve funktionen, grundet det ekstra led . Og faktisk vokser accelerationen af denne endnu hurtigere, idet:

En potentiel udvikling er ikke lige så hurtig. Dette ses tydeligt, idet:

Og fortsat:

Er funktionen et polynomium, fås snart en konstant: , som ved næste differentiering bliver væk.

Se også[redigér | redigér wikikode]