Maksimum og minimum

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I matematik er maksimum og minimum henholdsvis det største og det mindste element i en mængde. Maksimum og minimum for en mængde kaldes tilsammen mængdens ekstrema (flertal af ekstremum).

Definition[redigér | redigér wikikode]

Et element i en mængde partielt ordnet mængde kaldes mængdens største element dersom ethvert element i er mindre end eller lig . Dette kan skrives symbolsk:

En ordnet mængde kan derfor højst have et største element. Et element i en mængde partielt ordnet mængde siges at være maksimalt dersom der ikke findes noget element i som er større end . Dette kan skrives symbolsk:

En partielt ordnet mængde kan godt have flere maksimale elementer. Hvis mængden er totalt ordnet, er begreberne maksimalt element og største element synonyme og man siger at er mængdens maksimum.

Begreberne mindste element, minimalt element og minimum defineres tilsvarende med den ene forskel at ulighedstegnene er vendt om.

For en mængde, der ikke har maksimum eller minimum kan man i stedet se, om den har et supremum eller et infimum.

Funktionsundersøgelse[redigér | redigér wikikode]

Ved en funktions ekstrema forstås funktionens mindste og største værdi dersom disse findes. En funktion kan endvidere have lokale ekstremumspunkter, hvor funktionens restriktion til en lille omegn antager en mindste eller største værdi. Hvis (x,f(x)) er et lokalt ekstremumspunkt og funktionen er differentiabel, så er f'(x)=0. Maksimum for en funktion kan derfor findes ved at bestemme funktionens værdi alle steder hvor f'(x)=0 eller hvor funktionen ikke er differentiabel.