Maxwell-Boltzmann-fordelingen

Ikke at forveksle med Boltzmann-fordelingen.

Maxwell-Boltzmann-fordelingen for forskellige temperaturer, hvor $x=v$ og $a={\sqrt {\frac {k_{\text{B}}T}{m}}}$. Det ses, at fordelingen forskydes mod højere hastigheder, når temperaturen stiger.

Maxwell-Boltzmann-fordelingen beskriver hastigheds- og fartfordelingen af partiklerne i en idealgas i termisk ligevægt jf. den kinetiske gasteori. Fordelingen af fart $v$ er givet ved:

$f(v)={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right)^{\frac {3}{2}}v^{2}{\text{e}}^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}$

hvor $T$ er gassens temperatur, $k_{\text{B}}$ er Boltzmanns konstant, og $m$ er en enkelt partikels masse. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet $v$ til $v+{\text{d}}v$ altså givet ved $f(v){\text{d}}v$.

Udledning

Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden udover ved elastiske sammenstød, er deres energi $E$ blot lig med deres kinetiske energi

$E={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}$

hvor ${\vec {v}}$ er hastigheden.

Hastighedsfordeling

Jf. Boltzmann-fordelingen må fordelingen af kinetisk energi følge en eksponentialfunktion:

$f_{\vec {v}}({\vec {v}})\propto {\text{e}}^{-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}}={\text{e}}^{-{\frac {m{\vec {v}}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}$

Da

${\vec {v}}^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$

for hver retning $x$, $y$ og $z$, er fordelingsfunktionen altså en funktion af tre variable:

$f_{\vec {v}}(v_{x},v_{y},v_{y})\propto {\text{e}}^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{y}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{z}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}$

En én-dimensionel normalfordeling omkring 0.

Det ses, at fordelingen er fordelt sfærisk symmetrisk omkring 0 som en normalfordeling, hvilket vil sige, at partiklerne ikke bevæger sig i en foretrukken retning. For at normere fordelingen skal integralet give 1:

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{\vec {v}}(v_{x},v_{y},v_{y}){\text{d}}{{v}_{x}}{\text{d}}{{v}_{y}}{\text{d}}{{v}_{z}}=1$

Da det gaussiske integrale er

$\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-\alpha x^{2}}{\text{d}}x={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}$

må det for fordelingsfunktionen gælde:

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{y}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{z}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{x}}{\text{d}}{{v}_{y}}{\text{d}}{{v}_{z}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{x}}\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{y}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{y}}\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{z}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{z}}={\sqrt {\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}}{\sqrt {\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}}{\sqrt {\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}}$

Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder

$f_{\vec {v}}(v_{x},v_{y},v_{y})=\left({\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}\right)^{\frac {3}{2}}{\text{e}}^{-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2k_{\text{B}}T}}}$

Det ses desuden, at fordelingen flader ud, jo højere temperaturen bliver.

Fartfordelingen

Fartfordelingen for forskellige ædelgasser ved 298.15 K (25 °C). Jo lettere atomerne er, jo mere udfladet er fordelingen.

For at finde fartfordelingen skal hastighedernes retninger integreres væk. Pga. symmetrien kan sfæriske koordinater med fordel bruges:

$\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }f_{\vec {v}}(v,\Omega )v^{2}{\text{d}}v{\text{d}}\Omega =1$

Her er $\Omega$ rumvinklen. Integralet over rumvinklen er $4\pi$, så fartfordelingen bliver

$f(v)={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right)^{\frac {3}{2}}v^{2}{\text{e}}^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}$

I modsætning til hastighedsfordelingen er fartfordelingen altså ikke symmetrisk omkring 0.

Kildehenvisninger

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Maxwell-Boltzmann-fordelingen