Maxwell-Boltzmann-fordelingen

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Confusion colour.svg Ikke at forveksle med Boltzmann-fordelingen.
Maxwell-Boltzmann-fordelingen for forskellige temperaturer, hvor og . Det ses, at fordelingen forskydes mod højere hastigheder, når temperaturen stiger.

Maxwell-Boltzmann-fordelingen beskriver hastigheds- og fartfordelingen af partiklerne i en idealgas i termisk ligevægt jf. den kinetiske gasteori. Fordelingen af fart er givet ved:

hvor er gassens temperatur, er Boltzmanns konstant, og er en enkelt partikels masse. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet til altså givet ved .[1]

Udledning[redigér | redigér wikikode]

Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden udover ved elastiske sammenstød, er deres energi blot lig med deres kinetiske energi

hvor er hastigheden.[1]

Hastighedsfordeling[redigér | redigér wikikode]

Jf. Boltzmann-fordelingen må fordelingen af kinetisk energi følge en eksponentialfunktion:

Da

for hver retning , og , er fordelingsfunktionen altså en funktion af tre variable:

En én-dimensionel normalfordeling omkring 0.

Det ses, at fordelingen er fordelt sfærisk symmetrisk omkring 0 som en normalfordeling, hvilket vil sige, at partiklerne ikke bevæger sig i en foretrukken retning. For at normere fordelingen skal integralet give 1:

Da det gaussiske integrale er[2]

må det for fordelingsfunktionen gælde:

Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder

Det ses desuden, at fordelingen flader ud, jo højere temperaturen bliver.[1]

Fartfordelingen[redigér | redigér wikikode]

Fartfordelingen for forskellige ædelgasser ved 298.15 K (25 °C). Jo lettere atomerne er, jo mere udfladet er fordelingen.

For at finde fartfordelingen skal hastihedernes retninger integreres væk. Pga. symmetrien kan sfæriske koordinater med fordel bruges:

Her er rumvinklen. Integralet over rumvinklen er , så fartfordelingen bliver

I modsætning til hastighedsfordelingen er fartfordelingen altså ikke symmetrisk omkring 0.[1]

Kildehenvisninger[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ a b c d Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "5 The Maxwell–Boltzmann distribution". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 46-48. ISBN 978-0-19-856770-7. 
  2. ^ Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "C.2 The Gaussian integral". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 437. ISBN 978-0-19-856770-7.