Euklids postulater: Forskelle mellem versioner

Spring til navigation Spring til søgning
2.365 bytes tilføjet ,  for 17 år siden
tilføjelse om pParallel-aksiomet
(linkfix)
(tilføjelse om pParallel-aksiomet)
For hver linje l og hvert punkt P, som ikke ligger på l, eksisterer det eksakt én linje m gennem P, således at m og l er parallelle.
 
== Parallel-aksiomet ==
{{stub}}
 
Euklids 5. aksiom, der også kaldes parallel-aksiomet, er et afgørende element i euklidisk [[geometri]], som er den geometri, der tilfredsstiller alle Euklids aksiomer. Geometri, som er uafhængigt af det 5. aksiom, kaldes [[ikke-euklidisk]] geometri.
 
Adskillige egenskaber ved euklidisk geometri er logisk [[ækvivalent]]e med Euklids parallel-aksiom i den forstand, at de kan bevises i et system, hvor parallel-aksiomet er sandt, og hvis disse egenskaber antages som [[aksiom]]er, så kan parallel-aksiomet også bevises.
 
En af de vigtigste af disse egenskaber, og den, der nu oftest antages som aksiom, er ''Playfairs aksiom'', der er gengivet ovenfor, og som er navngivet efter den skotske [[matematiker]] [[John Playfair]].
 
Der er gjort mange forsøg på at bevise parallel-aksiomet ud fra de første fire aksiomer. Incitamentet hertil har været, at det 5. aksiom indfører noget uendeligt, som ikke intuitivt kan antages som sandt.
 
Dette førte til opdagelsen af [[hyperbolsk geometri]], mens det 5. aksioms uafhængighed af Euklids øvrige aksiomer endegyldigt blev demonstreret af [[Eugenio Beltrami]].
 
Nogen af de sætninger, som er ækvivalente med parallel-aksiomet synes ved første øjekast ikke at være relateret til parallellitet. Nogle lyder endda så selvindlysende, at de ubevidst er blevet accepteret som gyldige af folk, som hævdede at have bevist parallel-aksiomet ud fra Euklids øvrige aksiomer.
 
Nogle af disse resultater er følgende:
 
# Summen af [[vinkel|vinklerne]] i en [[trekant]] er 180°.
# Der findes en trekant, hvis vinkler tilsammen er 180°.
# Vinklernes sum er den samme i enhver trekant.
# Der findes et par trekanter, som er ligedannede, men ikke [[kongruent]]e.
# Enhver trekant kan [[Omskrevet cirkel|omskrives]] af en cirkel.
# Hvis tre vinkler i en [[firkant]] er rette vinkler, så er den fjerde vinkel også ret.
# Der findes en firkant, hvori alle vinkler er rette vinkler.
# Der findes to rette linjer, som har en fast, konstant afstand fra hinanden.
# To linjer, som er parallelle med den samme tredie linje, er også parallelle med hinanden.
# Givet to parallelle linjer, så vil enhver linie, som skærer en af dem, også skære den anden.
# I en [[retvinklet trekant]] er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kvadraterne på de to andre sider (Pythagoras' læresætning).
 
[[kategori:Matematik]]
25.017

redigeringer

Navigationsmenu