Subnormale undergrupper

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Subnormale undergrupper er et matematisk begreb som hører til under Gruppeteori. Lad være en gruppe (matematik), en undergruppe i siges at være normal hvis den opfylder en af følgende tre ækvivalente betingelser:

  1. For alle gælder
  2. For alle gælder
  3. For alle gælder

Således er alle undergrupper i en abelsk gruppe normale undergrupper. En undergruppe N af index 2 i er altid normal. Hvis en undergruppe N i er normal skrives det som .

Normale undergrupper opfylder generelt ikke den transitive lov. Således gælder IKKE .

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

Dette motiverer til at definere Subnormale undergrupper.

 kaldes en subnormal undergruppe, hvis der findes en række af normale undergrupper fra H til . 
Dvs. 
hvor . Vi skriver  når H er subnormal i G. Vi kalder r for længden af rækken.

Der findes nødvendigvis ikke kun en række af normale undergrupper fra H til G. En række fra H til G kaldes en minimalrække, hvis den har længde r og ingen række har længde . Vi skriver længden af en minimalrække fra H til G som . Har vi givet længden af en minimalrække gælder følgende:

Hvis alle undergrupper i en endelig gruppe G er subnormale så er gruppen nilpotent og omvendt. Denne sammenhæng er vist nederst på siden.

Lad , den symmetriske gruppe bestående af permutationer af 4 elementer. har orden 4! = 24. er ikke abelsk da eksempelvis . Lad K være Klein's Vierer-gruppe, , så . K er abelsk, og der findes en undergruppe af orden 2 i K så . Vi kan nu tage alle og se at . Vi har altså fundet , men da H ikke er normal i G, har vi her et eksempel på, at den transitive lov ikke generelt gælder for normale undergrupper.


Hvis så er og .

Bevis Antag , dvs. at der �findes Det ses altså, at der er en kæde af normale undergrupper fra A og op til G og idet er . Fra antagelsen er og , kan vi finde minimalrækker. Sæt og . Som vist ovenfor findes der en kæde af normale undergrupper fra A til G af længde m + n, som ikke nødvendigvis er en minimalrække. En minimalrække fra A til G har derfor længde . Alstå .

Nilpotent[redigér | redigér wikikode]

Vi definere en serie af undergrupper af en vilkårlig gruppe G ved: Den aftagende centralrække for G

er fastlagt ved at

Den voksende centralrække for G

er fastlagt ved

Definition En gruppe G kaldes nilpotent hvis der findes et . Det mindste tal m med kaldes nilpotensklassen af G. Man siger så, at G er nilpotent af klasse m.

Sætning: For en endelig gruppe G er følgende betingelser ækvivalente:

  1. G er nilpotent.
  2. For enhver undergruppe er .
  3. For alle primtal p har G en normal p-Sylow gruppe.
  4. G er et direktet produkt af sine Sylow grupper.

Egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Her følger et par resultater som viser nogle af de egenskaber der findes omkring subnormale undergrupper.

Lemma Lad , hvor G er en gruppe, og antag er en vilkårlig undergruppe, så er .

Korollar Lad S og T være subnormale undergrupper i G, så er .

Sætning Lad G være en endelig gruppe og antag at . Så er .

Sætning Lad G være endelig. G er nilpotent hvis og kun hvis enhver undergruppe af G er subnormal.

Bevis: " " Antag at alle undergrupper af G er subnormale. Lad H være en vilkårlig ægte undergruppe i G, hvor H er subnormal i G. Så findes der række af normale undergrupper hvor , da ellers H=G. Så der findes . Da gælder at (normalisatoren), så da er . Dette er ækvivalent til at G er nilpotent. " " Antag nu at G er nilpotent, så , hvor . Givet et H vises ved induktion (matematik) efter index at . Hvis index er 1 må H=G, og der er ikke noget at vise. Antag derfor nu at . Så er og , dette betyder at . Fra vores induktionsantagelse vil det sige, at er subnormal i G. Dvs. at