Subnormale undergrupper

Subnormale undergrupper er et matematisk begreb som hører til under Gruppeteori. Lad $G$ være en gruppe (matematik), en undergruppe $N$ i $G$ siges at være normal hvis den opfylder en af følgende tre ækvivalente betingelser:

1. For alle $g\in G$ gælder $gN=Ng$
2. For alle $g\in G$ gælder $gNg^{-1}=N$
3. For alle $g\in G$ gælder $gNg^{-1}\subseteq N$

Således er alle undergrupper i en abelsk gruppe normale undergrupper. En undergruppe N af index 2 i $G$ er altid normal. Hvis en undergruppe N i $G$ er normal skrives det som $N\trianglelefteq G$.

Normale undergrupper opfylder generelt ikke den transitive lov. Således gælder IKKE $A\trianglelefteq B,B\trianglelefteq C\Rightarrow A\trianglelefteq C$.

Eksempel

Dette motiverer til at definere Subnormale undergrupper.

$H\subseteq G$ kaldes en subnormal undergruppe, hvis der findes en række af normale undergrupper fra H til $G$. 
Dvs. $H=G_{0}\trianglelefteq G_{1}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq G_{r}=G$
hvor $G_{i}\trianglelefteq G_{i+1}$. Vi skriver $H\trianglelefteq \trianglelefteq G$ når H er subnormal i G. Vi kalder r for længden af rækken.

Der findes nødvendigvis ikke kun en række af normale undergrupper fra H til G. En række fra H til G kaldes en minimalrække, hvis den har længde r og ingen række har længde $\leq r-1$. Vi skriver længden af en minimalrække fra H til G som $|G-H|$. Har vi givet længden af en minimalrække gælder følgende:

• $r=0\Rightarrow H=G$
• $r=1\Rightarrow H\trianglelefteq G$
• $r<1\Rightarrow H\trianglelefteq \trianglelefteq G$

Hvis alle undergrupper i en endelig gruppe G er subnormale så er gruppen nilpotent og omvendt. Denne sammenhæng er vist nederst på siden.

Lad $G=S_{4}$, den symmetriske gruppe bestående af permutationer af 4 elementer. $S_{4}$ har orden 4! = 24. $S_{4}$ er ikke abelsk da eksempelvis $(12)(13)\neq (13)(12)$. Lad K være Klein's Vierer-gruppe, $K=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$, så $K\subset G$. K er abelsk, og der findes en undergruppe $H=\{(1),(12)(34)\}$ af orden 2 i K så $H\trianglelefteq K$. Vi kan nu tage alle $g\in S_{4}$ og se at $gK=Kg$. Vi har altså fundet $H\trianglelefteq K\land K\trianglelefteq G$, men da H ikke er normal i G, har vi her et eksempel på, at den transitive lov ikke generelt gælder for normale undergrupper.

Hvis $A\trianglelefteq \trianglelefteq B\trianglelefteq \trianglelefteq G$ så er $A\trianglelefteq \trianglelefteq G$ og $|G-A|\leq |G-B|+|B-A|$.

Bevis Antag $A\trianglelefteq \trianglelefteq B\trianglelefteq \trianglelefteq G$, dvs. at der �findes $A=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq H_{n}=B=K_{0}\trianglelefteq K_{1}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq K_{m}=G$ Det ses altså, at der er en kæde af normale undergrupper fra A og op til G og idet $H_{n}=K_{0}$ er $A\trianglelefteq \trianglelefteq G$. Fra antagelsen er $A\trianglelefteq \trianglelefteq B$ og $B\trianglelefteq \trianglelefteq G$, kan vi finde minimalrækker. Sæt $|G-B|=m$ og $|B-A|=n$. Som vist ovenfor findes der en kæde af normale undergrupper fra A til G af længde m + n, som ikke nødvendigvis er en minimalrække. En minimalrække fra A til G har derfor længde $\leq m+n$. Alstå $|G-A|\leq |G-B|+|B-A|$.

Nilpotent

Vi definere en serie af undergrupper af en vilkårlig gruppe G ved: Den aftagende centralrække for G

$G=L_{1}(G)\geq L_{2}(G)\geq \cdots \geq L_{c}(G)\geq \cdots$

er fastlagt ved at

$L_{1}(G)=G,L_{i}(G)=[L_{i-1}(G),G]\quad for\,\,i\geq 2$

Den voksende centralrække for G

${1}=Z^{0}(G)\leq Z^{1}(G)\leq \cdots \leq Z^{c}(G)\leq \cdots$

er fastlagt ved

$Z^{0}(G)={1},Z^{i}(G)/Z^{i-1}(G)=Z(G/Z^{i-1}(G))\quad for\,\,i\geq 2$

Definition En gruppe G kaldes nilpotent hvis der findes et $m\geq 0$ så $Z^{m}(G)=G$. Det mindste tal m med $Z^{m}(G)=G$ kaldes nilpotensklassen af G. Man siger så, at G er nilpotent af klasse m.

Sætning: For en endelig gruppe G er følgende betingelser ækvivalente:

1. G er nilpotent.
2. For enhver undergruppe $H\neq G$ er $N_{G}(H)\neq H$.
3. For alle primtal p har G en normal p-Sylow gruppe.
4. G er et direktet produkt af sine Sylow grupper.

Egenskaber

Her følger et par resultater som viser nogle af de egenskaber der findes omkring subnormale undergrupper.

Lemma Lad $S\trianglelefteq \trianglelefteq G$, hvor G er en gruppe, og antag $K\subseteq G$ er en vilkårlig undergruppe, så er $S\cap K\trianglelefteq \trianglelefteq K$.

Korollar Lad S og T være subnormale undergrupper i G, så er $S\cap T\trianglelefteq \trianglelefteq G$.

Sætning Lad G være en endelig gruppe og antag at $S,T\trianglelefteq \trianglelefteq G$. Så er $\left\langle S,T\right\rangle \trianglelefteq \trianglelefteq G$.

Sætning Lad G være endelig. G er nilpotent hvis og kun hvis enhver undergruppe af G er subnormal.

Bevis: " $\Leftarrow$ " Antag at alle undergrupper af G er subnormale. Lad H være en vilkårlig ægte undergruppe i G, hvor H er subnormal i G. Så findes der række af normale undergrupper $H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq H_{r}=G$ hvor $r>0$, da ellers H=G. Så der findes $H\in H_{1}$. Da $H\triangleleft H_{1}$ gælder at $H_{1}\subseteq N_{G}(H)$ (normalisatoren), så da $H\neq G$ er $H\neq N_{G}(H)$. Dette er ækvivalent til at G er nilpotent. " $\Rightarrow$ " Antag nu at G er nilpotent, så $H\subset N_{G}(H)$, hvor $H\subset G$. Givet et H vises ved induktion (matematik) efter index $|G:H|$ at $H\trianglelefteq \trianglelefteq G$. Hvis index er 1 må H=G, og der er ikke noget at vise. Antag derfor nu at $|G:H|>1$. Så er $H\subset G$ og $H\subset N_{G}(H)$, dette betyder at $|G:N_{G}(H)|<|G:H|$. Fra vores induktionsantagelse vil det sige, at $N_{G}(H)$ er subnormal i G. Dvs. at $H\trianglelefteq N_{G}(H)\trianglelefteq \trianglelefteq G\Rightarrow H\trianglelefteq \trianglelefteq G$