Den pythagoræiske læresætning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Et visuelt bevis for den pythagoræiske læresætning

Den pythagoræiske læresætning beskriver forholdet mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Det er en af de grundlæggende sætninger i den euklidiske geometri. Den siger, at i alle retvinklede trekanter er summen af kateternes kvadrat lig hypotenusens kvadrat. Sætningen kan også udtrykkes som ligning, idet kateternes længder benævnes a og b og hypotenusens benævnes c, ligesom på illustrationen:

{a^2} + {b^2} = {c^2}\!

Det er derfor muligt at beregne en sidelængde i en retvinklet trekant, når de to andre sidelængder er kendte. Fx findes hypotenusen c ved at tage kvadratroden af summen af a og bs kvadrater, altså

 c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,

Læresætningen er fejlagtigt opkaldt efter Pythagoras da han var den første til at udbrede den, ikke opdage den.

Sæt af heltalige løsninger til den pythagoræiske læresætning kaldes pythagoræiske tal.

Beviser[redigér | redigér wikikode]

Der findes flere måder at bevise den pythagoræiske læresætning på.

Bevis ud fra arealer[redigér | redigér wikikode]

Pythagoras proof.svg

Det omskrevne kvadrat har arealet:

A = (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2 \cdot a \cdot b \!

Det samme areal kan beregnes som summen af arealerne af de fire trekanter og arealet af det indskrevne kvadrat:

A = 4 \cdot ( \frac{a \cdot b}{2} ) + c^2 = 2 \cdot a \cdot b + c^2 \!

Disse to forskellige udtryk for det samme areal sættes lig hinanden:

a^2 + b^2 + 2 \cdot a \cdot b = 2 \cdot a \cdot b + c^2 \!

Denne ligning reduceres til:

a^2 + b^2 = c^2 \!

Hermed er sætningen bevist.

Anvender tilsvarende trekanter[redigér | redigér wikikode]

Teorema.png
\frac{d}{a} = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{a^2}{c}\quad (1)
\frac{e}{b} = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad e = \frac{b^2}{c}\quad (2)

Fra billedet  c = d + e \,\! . Og ved at erstatte ligninger (1) og (2):

 c = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c}

Mangedobling for c:

 c^2 = a^2 + b^2 \,\!.

Den udvidede pythagoræiske læresætning[redigér | redigér wikikode]

Der findes imidlertid også en udvidet pythagoræisk læresætning, som gælder for alle trekanter, ikke kun de retvinklede. Denne kaldes cosinusrelationen. Den kaldes den udvidede Pythagoras, da den for det første i sin opbygning minder meget om Pythagoras' læresætning og desuden er beviset for sætningen baseret herpå.

Cosinusrelationerne er givet ved

{a^2} = {b^2 + c^2 - 2 b c \cos A}\!,

hvor A er vinklen mellem linjerne b og c. Her er det lige meget hvilke af siderne der benævnes med a, b og c.

Pythagoras' omvendte sætning[redigér | redigér wikikode]

Den omvendte sætning af den Pythagoræiske læresætning er også sand. Det vil sige at hvis længden af siderne i en trekant opfylder: :{a^2} + {b^2} = {c^2}, så er vinkel C en ret vinkel, og derfor er trekanten retvinklet.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]