Differentialkvotienten af et produkt

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Differentialkvotienten af et produkt er en omregningsregel eller sætning, der benyttes i differentialregningen. Denne omregning er en del af de generelle differentialregneregler. Denne benyttes til at finde tangenten tangenthældningen ud fra funktionen.

Sætningen[redigér | redigér wikikode]

En funktion, f(x), er givet som et produkt:

f(x)=v(x) \cdot u(x)

Differentialkvotienten af denne funktion er følgende:

f'(x)=v'(x)\cdot u(x)+v(x) \cdot u'(x)

Umiddelbart giver denne generelle "omregning" ingen mening. Denne "formel" eller regneregel skal bevises.

Beviset[redigér | redigér wikikode]

Først der findes sekantens hældningenstal:

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Hvilket bliver; da f(x) = v(x)u(x):

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{v(x+\Delta x) \cdot u(x+\Delta x) - v(x) \cdot u(x)}{\Delta x}

Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{v(x+\Delta x) \cdot u(x+\Delta x) - v(x) \cdot u(x) + v(x+\Delta x) \cdot u(x)- v(x+\Delta x) \cdot u(x)}{\Delta x}

u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x) - u(x)]+u(x)[v(x+\Delta x) - v(x)]}{\Delta x}

\Updownarrow

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x) - u(x)]}{\Delta x}+ \frac{u(x)[v(x+\Delta x) - v(x)]}{\Delta x}

\Updownarrow

\frac{\Delta y}{\Delta x} = v(x+\Delta x) \left[ \frac{ u(x+\Delta x ) - u(x) }{ \Delta x } \right] + u(x) \left[ \frac { v(x+\Delta x) - v(x) }{\Delta x} \right]

Differentialkvotienten bliver således:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right)

Hvilket i det generelle tilfælde er:

f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \left( v(x+\Delta x) \left[ \frac{ u(x+\Delta x ) - u(x) }{ \Delta x } \right] + u(x) \left[ \frac { v(x+\Delta x) - v(x) }{\Delta x} \right]\right)

\Updownarrow

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (v(x+\Delta x)) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{ u(x+\Delta x ) - u(x) }{ \Delta x } \right] + \lim_{\Delta x \to 0} (u(x)) \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\left[ \frac { v(x+\Delta x) - v(x) }{\Delta x} \right]

Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:

f'(x)=v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x) \frac{}{}

Umiddelbart ville man ikke tro at \lim_{\Delta x \to 0} (v(x+\Delta x)) = v(x), og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):

\frac{d}{dx} u(x)\cdot v(x)  = v' \cdot u + v \cdot u'

Q.E.D. \frac{}{}