Harmonisk række

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Acap.svg Indforstået sprog
Denne artikel er skrevet i et meget indforstået sprog. Du kan gøre artiklen bedre ved at omskrive den i et sprog, der er lettere at forstå for folk uden forudgående viden om emnet.
Musik, harmonisk række

I matematikken er den harmoniske række den uendelige række

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +
\cdots.

Rækken og dens egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Rækken kaldes den harmoniske række, fordi bølgelængderne af overtonerne af en vibrerende streng er proportionelle til 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Rækken divergerer (langsomt) mod uendelig. Dette kan vises ved at bemærke, at den harmoniske række er ledvist større end eller lig rækken

\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! = 
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots
\ \ \ \ \ = 1 +\ \frac{1}{2}\ \ +\  \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots

som tydeligvis divergerer. (Dette bevis, der skyldes Nicole Oresme, er et højdepunkt i middelalderens matematik.) Faktisk gælder også, at summen af de reciprokke primtal

\sum_{p} \frac{1}{p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots,

også divergerer mod uendelig (men dette er væsentligt sværere at bevise.) Den alternerende harmoniske række konvergerer derimod:

\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.

Dette er et resultat af Taylorrækken af den naturlige logaritme.

Hvis det n'te harmoniske tal defineres som

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},

gælder, at Hn vokser omtrent så hurtigt som den naturlige logaritme på n. Grunden hertil er, at summen approksimeres af integralet

\int_1^n {1 \over x}\, dx,

hvis værdi er ln(n). Mere præcis haves grænseværdien:

 \lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma,

hvor γ er Euler-Mascheroni-konstanten. Det er blevet vist, at

  1. Det eneste heltallige Hn er H1.
  2. Differensen HmHn hvor m > n aldrig er et heltal.

Jeffrey Lagarias beviste i 2001, at Riemannhypotesen er ækvivalent med udsagnet

\sigma(n)\le H_n + \ln(H_n)e^{H_n} \qquad \forall n\in\mathbb{N},

hvor σ(n) er summen af de positive divisorer af n.

Andre relevante definitioner[redigér | redigér wikikode]

Den generelle harmoniske række er på formen

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}.

Der gælder, at alle harmoniske rækker divergerer.

Rækkerne

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

for p a positive real number kaldes p-rækkerne. Rækkerne konverger for p > 1 og divergerer ellers. For p = 1 er rækken den harmoniske række. Hvis p > 1 er summen af rækken ζ(p); det vil sige Riemanns zetafunktionp.

Harmoniske middeltal[redigér | redigér wikikode]

Et hvert led i den harmoniske række, er det harmoniske middeltal af sine to naboled

a = \frac{1}{n-1}\ \ ,\ \ b = \frac{1}{n}\ \ ,\ \ c = \frac{1}{n+1}

Vi kan sige at b er det harmoniske middeltal mellem a og c. Det underbygges ved

2ac \ = \ 2 \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{n+1} \ = \ \frac{2}{(n-1)(n+1)} \ = \ \frac{2}{n^2-1}
a + c \ = \ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} \ = \ \frac{n+1+n-1}{(n-1)(n+1)} \ = \ \frac{2n}{n^2-1}

Med de to mellemregninger ovenover fås nu

\frac{2ac}{a+c} \ = \ \frac{\frac{2}{n^2-1}}{\frac{2n}{n^2-1}} \ = \ \frac{2}{n^2-1} \cdot \frac{n^2-1}{2n} \ = \ \frac{2}{2n} \ = \ \frac{1}{n} \ = \ b

Se også[redigér | redigér wikikode]