Keplers love

Keplers love er tre love, fremsat af den tyske astronom Johannes Kepler, baseret hovedsagelig på Tycho Brahes omfattende og nøjagtige observationer af planeten Mars. Lovene beskriver hvordan planeterne i Solsystemet bevæger sig i deres baner omkring Solen. De tre love lyder:

1. Alle planeter følger baner med facon som en ellipse, med Solen i det ene af ellipsens to brændpunkter.
2. Indenfor to vilkårlige, men lige lange tidsrum, vil linjen mellem Solens og en planets centrummer altid passere et konstant areal.
3. Hvis en planet med omløbstiden t følger en ellipseformet bane, hvis halve storakse er a, så vil t² være ligefremt proportional med a³.

Med Isaac Newtons matematik og den klassiske mekaniks formler har man sidenhen kunnet "præcisere" formlen i den sidste af Keplers love til:
$a^{3}={\frac {G\cdot M}{4\cdot \pi ^{2}}}\cdot t^{2}$
hvor G er den universelle gravitationskonstant, og M er Solens masse.

Beregninger

Planetens bevægelse i tid.

Overstrøgne areal zxS:

Da arealerne blot skal sammenlignes, er det ligeså rigtigt – og betydeligt nemmere – at beregne dem for en cirkel med radius R = 1. Linjestykket cz = cx = 1.

$a=E-\sin(E)\cdot e$

Hvor E er cirklens centervinkel mellem perihelium z og planetens aktuelle projekterede placering x angivet i radianer, og e er ellipsens excentricitet = linjestykket cS divideret med linjestykket cz.

Hvis den anomalistiske omløbstid T er kendt, er det således enkelt at beregne tiden t for bevægelsen fra z til P:

${\frac {a}{A}}={\frac {t}{T}}$

Hvor A angiver hele cirklens areal: π.

Da arealet czy, med centervinklen M, har præcis samme areal, kan man udlede:

${\frac {M}{2\pi }}={\frac {a}{A}}={\frac {t}{T}}$

Dette ville have været forholdet ved en jævn bevægelse, kaldet for middelanomalien.

For Jordens gang omkring solen gælder:

$a={\frac {\pi }{180}}\cdot (356,9915632+0,985600258\cdot d-{\frac {4,411\cdot d^{2}}{1.000.000.000}})\%360$

Hvor d er antal døgn siden 1. januar 2000 klokken 00:00 dansk normaltid; og % betyder modulus.

Solvinklen

Da det er mere relevant et kende vinkelomdrejningen om Solen θ end omkring ellipsens centrum, skal der omregnes et forhold mellem disse:

$\tan(\theta )={\frac {\sin(E)\cdot r}{\cos(E)-e}}$

Hvor r angiver ellipsens lilleradius, som findes således:

$r={\sqrt {1-e^{2}}}$

Iteration

Oftest ønsker man at beregne vinlen på et kendt tidspunkt, altså skal man finde E i den første ligning, og det lader ikke beregne. Bedst er da at lade et edb-program iterere sig frem til resultatet.