Eksponentialfunktion

Sammenskrivningsforslag Denne artikel er foreslået skrevet ind i artiklen Eksponentiel vækst.   (Diskutér forslaget). Hvis sammenskrivningen sker, skal det fremgå af beskrivelsesfeltet, at sammenskrivningen er sket (hvorfra og hvortil) eller af artiklens diskussionsside

Eksponentialfunktioner

En eksponentialfunktion er en matematisk funktion på formen:

$f(x)=a^x \,$

hvor $a > 0\,$ og $a \neq 1$. $a$ er udviklingshastigheden – også kaldet grundtallet for funktionen.

Bemærk desuden at,

• hvis $a>1$ vil grafen være stigende (voksende funktion).
• hvis $a=1$ vil grafen være en vandret linje (konstant funktion).
• hvis $0<a<1$ vil grafen være faldende (aftagende funktion).

Eksponentialfunktioner er differentiable, og har som de eneste funktioner den egenskab at de er ligefrem proportionale med deres differentialkvotient. Specielt findes der en eksponentialfunktion, som er lig med sin differentialkvotient. Den hedder den naturlige eksponentialfunktion, og dens grundtal kaldes e.

De inverse funktioner til eksponentialfunktionener er logaritmefunktionerne.

Formel definition

Eksponentialfunktionen e^x kan defineres på flere forskellige ækvivalente måder som en uendelig række. Specielt kan den defineres ved potensrækken:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$

eller som grænseværdien af en talfølge:

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.$

I disse definitioner er $n!$ fakultetet af n, og x kan eksempelvis være et reelt tal, komplekst tal, et element i en Banachalgebra (eksempelvis en kvadratisk matrix) eller et element i legemet af p-adiske tal.

Se også

• Eksponentiel udvikling

Wikimedia Commons har medier relateret til: Eksponentialfunktion