Undvigelseshastighed

Undvigelseshastighed er den fart et himmellegeme eller rumfartøj skal have for at kunne undvige tyngdefeltet fra (og dermed forlade) et andet himmellegeme uden på noget tidspunkt at falde tilbage mod, eller forblive i kredsløb om dette legeme. Størrelsen af denne fart afhænger af afstanden til og massen af det legeme der skal "undviges fra" – fra et sted lige udenfor Jordens atmosfære er størrelsen af denne undvigelseshastighed cirka 11 kilometer i sekundet (hvilket svarer til cirka 40.000 km/h). For eksempel skal interplanetariske sonder accelereres til en fart i denne størrelsesorden for at kunne forlade Jorden helt.

Dette udtryk kan også kaldes for undvigelsesfarten, da der ikke er specificeret en retning.

Det er en udbredt misforståelse, at ethvert legeme skal have undvigelseshastigheden for at forlade jordens tyngdefelt. Det gælder for en passivt objekt, at det skal mindst have undvigelseshastigheden som initialhastighed for at undslippe. Et objekt med en motor kan undvige jordens tyngdefelt ved enhver hastighed, når blot motoren sørger for at opretholde en hvilken som helst hastighed væk fra jorden.

Beregning

Størrelsen $v_{esc}$ af den hastighed et legeme skal have for på denne måde at "slippe væk" fra et himmellegeme med massen $M$ afhænger af afstanden $r$ til dette himmellegemes massemidtpunkt. Der gælder, at:

$v_{esc}=\sqrt{2 \cdot \frac{G \cdot M}{r}}$

hvor G er den universelle gravitationskonstant.

Rumfartøjer der skal forlade Jorden helt, bliver som regel først anbragt i en parkeringsbane omkring Jorden, før de igen starter deres raketmotorer og accelererer til op over undvidelseshastigheden. Den hastighed $v_o$ som fartøjet skal have for at opretholde den cirkelformede parkeringsbane, står i et bestemt fohold til undvigelseshastigheden, idet:

$v_{esc} = \sqrt{2} \cdot v_o$^{[Kilde mangler]}

Når fartøjet forlader parkeringsbanen, skal det øge farten med ca. 41,4% – dette forhold er helt konstant; det gælder for alle objekter i cirkulære parkeringsbaner om en hvilken som helst planet eller stjerne.

Den potentielle energi for et (lille) legeme i tyngdefeltet af et andet (og meget større) legeme er altid negativ, så længe afstanden mellem legemerne ikke er uendelig stor. Den kinetiske energi ("bevægelsesenergien") for det lille legeme er positiv, og vil overstige den numeriske størrelse af den potentielle energi hvis legemet overstiger undvigelseshastigheden.

Udledning af formlen

Formlen for undvigelseshastigheden kan udledes matematisk. Når et legeme $P$ skal bevæge sig væk fra et himmellegemes tyngdefelt, må det gælde, at det i forhold til himmellegemets massemidtpunkt skal bevæge sig fra dets startafstand $r_1$ til den afstand, hvor tyngdefeltet slutter. Den afstand kan benævnes $r_2$. Dvs. at den potentielle energi vil ændre sig med størrelsen $\Delta U$; den potentielle energiændring er givet ved tyngdekraften $F_g$ gange distanceændringen eller mere præcist ved arealet under grafen som funktion af distancen $r$. Dvs. at det bestemte integral for tyngdekraften i intervallet $r_1$ til $r_2$ skal findes:

$\Delta U=\int_{r}^{r_2} F_g(r) dr$

Tyngdekraften som funktion af distancen er givet ved

$F_g(r)=\frac{GMm}{r^2}$,

hvor $G$ er den universelle gravitationskonstant, $M$ er himmellegemets masse, og $m$ er massen af $P$. Det bestemte integral bliver altså:

$\Delta U=\int_{r_1}^{r_2} \frac{GMm}{r^2} dr$

Det ubestemte integral findes, og værdierne sættes ind

$\Delta U =- \frac{GMm}{r_2}-(-\frac{GMm}{r_1} )= \frac{GMm}{r_1}-\frac{GMm}{r_2}$

Det vides imidlertid, at tyngdefelter faktisk er uendelig. Når $r_2$ går mod uendelig forsvinder det ene led i udtrykket:

$\Delta U=\frac{GMm}{r_1}$

Man har nu et udtryk for ændringen i potentiel energi, når et legeme forlader et tyngdefelt. Ved total energibevarelse, dvs. at der fx ikke er luftmodstand, vil ændringen modsvares af en minimum lige så stor negativ ændring i kinetisk energi $\Delta K$. Den kinetiske energi er givet ved en halv gange massen gange kvadratet af starthastigheden, der er lig undvigelseshastigheden eller højere. Ved minimumhastighed skal det altså være:

$\Delta K=-\frac{1}{2}mv_{esc}^2$

Det skal gælde, at

$0=\Delta U+\Delta K=\frac{GMm}{r_1}+(-\frac{1}{2}mv_{esc}^2)=\frac{GMm}{r_1}-\frac{1}{2}mv_{esc}^2$

Af denne ligning kan man finde et udtryk for undvigelseshastigheden. Først trækkes den kinetiske energiændring fra på begge sider, og der deles med massen af $P$ på begge sider:

$\frac{1}{2}v_{esc}^2=\frac{GM}{r_1}$

Man ganger nu med 2 og tager kvadratroden:

$v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r_1}}$

Da startpositionen $r_1$ også er distancen til himmellegemet, kan man dog bare udskifte den med $r$:

$v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Man har nu netop den beskrevne formel; undvigelseshastigheden er lig kvadratroden af 2 gange den universelle gravitationskonstant gange himmellegemets masse over afstanden til himmellegemets massemidtpunkt.

Forhold til omløbshastighed i en cirkelbane

For en cirkulær bane er accelerationen $a$ givet ved

$a=\frac{v_o^2}{r}$,

hvor $v_o$ er omløbshastigheden. I kredsløb omkring et himmellegeme modsvares denne af tyngdeaccelerationen givet ved

$a_g=\frac{F_g}{m}=\frac{GM}{r^2}$

Dette giver ligningen

$a =a_g \Rightarrow \frac{v_o^2}{r} =\frac{GM}{r^2}$

Ved på begge sider at gange med $r$ og tage kvadratroden fås et udtryk for $v_0$:

$v_o^2 =\frac{GM}{r} \Rightarrow v_0=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

Hvis nu udtrykket for undvigelseshastighed omskrives end smule

$v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2\frac{GM}{r}}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{GM}{r}}$,

kan man indsætte $v_o$:

$v_{esc}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{GM}{r}} \Rightarrow v_{esc}=\sqrt{2} \cdot v_o$

Som forventet er forholdet mellem undvigelseshastighed og omløbshastighed altså kvadratroden af 2. Forholdstallet er altså højere end 1, og det giver da også mening, at hastigheden for at undvige tyngdekraften skal være højere end hastigheden for blot at være i kredsløb.