Bruger:Videnden/Gambling-matematik

Matematikken bag gambling er en række anvendelser af sandsynligheden, som man støder på i tilfældighedsspil, og som kan indgå i spilteori. Fra et matematisk synspunkt er hasardspil eksperimenter, der genererer forskellige typer tilfældige begivenheder, og det er muligt at foretage beregninger ved at bruge sandsynlighedens egenskaber i et endeligt rum af muligheder.

Eksperimenter, begivenheder og sandsynlighedsrum[redigér | rediger kildetekst]

De tekniske processer i et spil er eksperimenter, der genererer tilfældige begivenheder. Her er et par eksempler:

Begivenhederne kan defineres, men når man formulerer et sandsynlighedsproblem, skal det gøres ekstremt omhyggeligt. Fra et matematisk synspunkt er begivenhederne ikke andet end delmængder, og rummet af begivenheder er en boolsk algebra. Vi finder elementære og sammensatte hændelser, eksklusive og ikke-eksklusive hændelser samt uafhængige og ikke-uafhængige hændelser.

I eksperimentet med at slå med en terning:

Begivenheden {3, 5} (hvis definition er forekomsten af 3 eller 5) er sammensat, fordi {3, 5}= {3} U {5};
Begivenhederne {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} er elementære;
Begivenhederne {3, 5} og {4} er uforenelige eller udelukker hinanden, da deres skæringspunkt er tomt; det vil sige, at de ikke kan forekomme samtidigt;
Begivenhederne {1, 2, 5} og {2, 5} er ikke-eksklusive, da deres skæringspunkt ikke er tomt;

I eksperimentet med at slå to terninger efter hinanden er begivenhederne "3" på den første terning og "5" på den anden terning uafhængige, da forekomsten af den første ikke påvirker forekomsten af den anden begivenhed, og vice versa.

I eksperimentet med at dele lommekort ud i Texas Hold'em Poker:

Begivenheden med at give (3♣, 3♦) til en spiller er en elementær begivenhed;
Begivenheden med at give to 3'ere til en spiller er sammensat, da den er en forening af begivenhederne (3♣, 3♠), (3♣, 3♥), (3♣, 3♦), (3♠, 3♥), (3♠, 3♦) og (3♥, 3♦);
Hændelserne "spiller 1 får uddelt et par konger" og "spiller 2 får uddelt et par konger" er ikke-eksklusive (de kan begge forekomme);
Begivenhederne "spiller 1 får to stik hjerter højere end J" og "spiller 2 får to stik hjerter højere end J" er eksklusive (kun én kan forekomme);
Begivenhederne spiller 1 får (7, K) og spiller 2 får (4, Q) er ikke-uafhængige (forekomsten af den anden afhænger af forekomsten af den første, mens det samme kortspil er i brug).

Dette er nogle få eksempler på spillebegivenheder, hvis egenskaber som sammensathed, eksklusivitet og uafhængighed er lette at observere. Disse egenskaber er grundlæggende i praktisk sandsynlighedsregning.

Kombinationer[redigér | rediger kildetekst]

Tilfældighedsspil er også gode eksempler på kombinationer, permutationer og arrangementer, som man møder ved hvert trin: kombinationer af kort i en spillers hånd, på bordet eller forventet i ethvert kortspil; kombinationer af tal, når man kaster flere terninger på én gang; kombinationer af tal i lotteri og bingo; kombinationer af symboler i spilleautomater; permutationer og arrangementer i et løb, der skal satses på og lignende. Kombinatorisk beregning er en væsentlig del af sandsynlighedsapplikationer inden for gambling. I hasardspil går det meste af sandsynlighedsberegningen, hvor vi bruger den klassiske definition af sandsynlighed, tilbage til at tælle kombinationer. Spilbegivenhederne kan identificeres med sæt, som ofte er sæt af kombinationer. Vi kan altså identificere en begivenhed med en kombination.

I et pokerspil med fem træk kan begivenheden, at mindst én spiller har en kombination af fire ens, f.eks. identificeres med mængden af alle kombinationer af typen (xxxxy), hvor x og y er forskellige værdier af kort. Dette sæt har 13C(4,4)(52-4)=624 kombinationer. Mulige kombinationer er (3♠ 3♣ 3♥ 3♦ J♣) eller (7♠ 7♣ 7♥ 7♦ 2♣). Disse kan identificeres med elementære begivenheder, som den begivenhed, der skal måles, består af. ^[1]

Matematiske principper[redigér | rediger kildetekst]

Loven om de store tal[redigér | rediger kildetekst]

Når tilfældige begivenheder indtræffer et stort antal gange, vil tilfældighederne udligne hinanden, så det aritmetiske gennemsnit af resultaterne af disse begivenheder er meget tæt på den matematiske termværdi i sandsynlighedsmæssig forstand. Når man f.eks. kaster en mønt, er det tilfældigt, hvilken side af mønten der vender opad, når den falder, men når det sker nok gange, er antallet af gange, hvor mønten vender opad på begge sider, omkring halvdelen hver. Dette er kendt under betegnelsen loven om de store tal.

At vinde og tabe i spil fungerer også som en tilfældig begivenhed hos en enkelt person og i en kort periode, men i det lange løb, så længe gambleren har et negativt afkast, vil tab ske før eller siden, efterhånden som spillet skrider frem. For casinoet, såvel som for spillerne, er det en sikker gevinst, så længe gevinstprocenten for spillet er positiv. ^[2]

Princippet om positivt afkast[redigér | rediger kildetekst]

Nøglen til at afgøre sejr eller nederlag er afkastprocenten, som bestemmes af spillereglerne og strategien. Afkastprocenten afspejler spillets sandhed og natur. Princippet for spilleregler er normalt at gøre casinoets gevinstprocent lidt større end 50%, hvilket afspejles i en positiv afkastprocent, der er lidt større end nul. Gambling er ikke held, men en konkurrence om intellekt, strategi og udbytte. Den endelige gevinst ved langsigtet gambling afhænger af gamblerens afkastningsgrad: Hvis afkastningsgraden er positiv, er det forventede afkast større end nul, og man kan vinde; hvis afkastningsgraden er negativ, er det forventede afkast mindre end nul, og man kan ikke vinde. Når afkastet er negativt, vil "lang gambling tabe", og loven om store tal vil i stigende grad dukke op. Professionelle gamblere, der følger princippet om et positivt afkast, gambler ikke i lang tid og vil tabe gamblingspillet, kun for at gamble på en sikker gevinst. De er ikke-gamblere. ^[2]

Loven om bias ved små tal[redigér | rediger kildetekst]

De store tals lov betyder, at når stikprøven er tæt på den samlede, vil dens sandsynlighed være tæt på den samlede sandsynlighed. "Loven om bias ved små tal" henviser til det faktum, at sandsynlighedsfordelingen for en begivenhed i en lille stikprøve betragtes som den samlede fordeling, hvilket overdriver den lille stikprøves repræsentativitet i forhold til den samlede population. En anden situation er den såkaldte "gambler's fallacy". Hvis man f.eks. slår plat eller krone med en mønt 10 gange i træk, vil man tro, at det er meget sandsynligt, at det bliver krone næste gang; faktisk er sandsynligheden for at slå plat eller krone 0,5 hver gang, og det har intet at gøre med, hvor mange gange det har været krone.

At ignorere effekten af stikprøvestørrelse, at tro, at små og store stikprøver har samme forventede værdi, og at erstatte den korrekte probabilistiske lov om store tal med den falske psykologiske lov om små tal, er årsagen til den store stigning i folks spillementalitet. Casinoer tror på loven om store tal, og gamblere anvender ubevidst loven om små tal. Loven om store tal gør det muligt for casinoer at tjene penge, og loven om små tal gør det muligt for spillere at give penge til casinoer, hvilket er logikken bag casinoernes eksistens. ^[2]

Casinoets fordel[redigér | rediger kildetekst]

Casinoets fordel er den fordel, som casinoet har i forhold til spillerne for hver type spil i casinoet.

Tag for eksempel møntkast, chancerne for krone og plat er lige store, 50% hver, hvis en spiller satser $10 på, at mønten lander på krone, og de vinder, betaler casinoet dem $10. Hvis de taber, går alle $10 tabt til casinoet, i dette tilfælde er casinoets fordel nul (casinoet er bestemt ikke dumt nok til at åbne dette spil); men hvis de vinder, betaler casinoet dem kun $9, hvis de taber, går alle $10 tabt til casinoet. Forskellen mellem at vinde og tabe denne ene dollar er casinoets fordel, og i ovenstående tilfælde er casinoets fordel 10%.

I alle former for spil på et casino har casinoet en vis fordel i forhold til spillerne, og kun på den måde kan casinoet sikre, at det bliver ved med at være åbent i det lange løb. Casinofordelen varierer meget fra spil til spil, hvor nogle spil har en lav casinofordel, mens andre har en høj casinofordel. Folk, der spiller meget, forsøger ikke at spille spil med en høj casinofordel. ^[2] ^[3]

Forventning og strategi[redigér | rediger kildetekst]

Tilfældighedsspil er ikke blot rene sandsynlighedsberegninger, og spilsituationer er ikke blot isolerede begivenheder, hvis numeriske sandsynlighed er veletableret gennem matematiske metoder; de er også spil, hvis udvikling påvirkes af menneskelig handling. I hasardspil har det menneskelige element en slående karakter. Spilleren er ikke kun interesseret i den matematiske sandsynlighed for de forskellige spilbegivenheder, men vedkommende har også forventninger til spillene, samtidig med at der er en stor interaktion. For at opnå fordelagtige resultater fra denne interaktion tager spillere højde for alle mulige oplysninger, herunder statistikker, for at opbygge spilstrategier. ^[4] ^[1]

Selvom tilfældigheden i tilfældighedsspil ser ud til at sikre deres retfærdighed (i det mindste i forhold til spillerne omkring bordet - at blande et spil kort eller dreje et hjul favoriserer ingen spillere, undtagen hvis de er falske), søger og venter spillere på uregelmæssigheder i denne tilfældighed, der vil give dem mulighed for at vinde. Det er blevet matematisk bevist, at under ideelle vilkår for tilfældighed og med negativ forventning er det ikke muligt for spillere af hasardspil at vinde regelmæssigt i det lange løb. De fleste spillere accepterer denne præmis, men arbejder stadig på strategier, der kan få dem til at vinde enten på kort sigt eller på lang sigt. ^[5]

Husets fordel eller kant[redigér | rediger kildetekst]

Casinospil giver en forudsigelig langsigtet fordel til casinoet, eller "huset", mens de giver spilleren mulighed for en stor kortsigtet udbetaling. Nogle casinospil har et færdighedselement, hvor spilleren træffer beslutninger; sådanne spil kaldes "tilfældige med et taktisk element". Selvom det er muligt gennem dygtigt spil at minimere husets fordel, har en spiller sjældent tilstrækkelig dygtighed til at eliminere sin egen indbyggede langsigtede ulempe (husets fordel eller husets vigorish) i et casinospil. Den almindelige opfattelse er, at en sådan færdighed kræver mange års træning, ekstraordinær hukommelse og regnefærdighed og/eller skarp visuel eller endda auditiv observation, som det er tilfældet med hjulenes ur i Roulette. For flere eksempler, se Fordelsspil.

Spillerens ulempe er et resultat af, at casinoet ikke udbetaler vindende indsatser i henhold til spillets "sande odds", som er de udbetalinger, der ville forventes i betragtning af oddsene for, at en indsats enten vinder eller taber. Hvis man f.eks. spiller ved at satse på det tal, der fremkommer, når man kaster en terning, vil de sande odds være 5 gange det satsede beløb, da der er en sandsynlighed på 1/6 for, at et enkelt tal fremkommer. Casinoet må dog kun udbetale 4 gange det satsede beløb for en vindende indsats.

Husets fordel (HE) eller vigorish er defineret som casinoets fortjeneste udtrykt som en procentdel af spillerens oprindelige indsats. I spil som Blackjack eller Spanish 21 kan den endelige indsats være flere gange den oprindelige indsats, hvis spilleren fordobler eller splitter.

Et eksempel: I amerikansk roulette er der to nuller og 36 tal, der ikke er nuller (18 røde og 18 sorte). Hvis en spiller satser $1 på rød, er hans chance for at vinde $1 derfor 18/38, og hans chance for at tabe $1 (eller vinde -$1) er 20/38.

Spillerens forventede værdi, EV = (18/38 x 1) + (20/38 x -1) = 18/38 - 20/38 = -2/38 = -5,26%. Derfor er husets fordel 5,26 %. Efter 10 runder skal du spille $1 pr. runde, og den gennemsnitlige husfortjeneste vil være 10 x $1 x 5,26% = $0,53. Selvfølgelig kan casinoet ikke vinde præcis 53 cent; dette tal er casinoets gennemsnitlige profit fra hver spiller, hvis det havde millioner af spillere, der hver satsede 10 runder til $1 pr. runde.

Husets fordel ved casinospil varierer meget fra spil til spil. Keno kan have en hsuets kant på op til 25%, og spilleautomater kan have en på op til 15%, mens de fleste australske Pontoon-spil har en på mellem 0,3% og 0,4%.

Beregningen af Roulette huskant var en simpel øvelse; for andre spil er dette normalt ikke tilfældet. Kombinatorisk analyse og/eller computersimulering er nødvendig for at fuldføre opgaven.

I spil, der har et færdighedselement, såsom Blackjack eller spansk 21, er husets fordel defineret som husets fordel ved optimalt spil (uden brug af avancerede teknikker såsom korttælling eller sporing af blandinger) på den første hånd i skoen (beholderen, der indeholder kortene). Sættet af optimale spil for alle mulige hænder er kendt som "grundlæggende strategi" og er meget afhængig af de specifikke regler og endda antallet af kortspil, der bruges. Gode blackjack- og Spanish 21-spil skal have en husets kant på under 0,5 %.

Online spilleautomater har ofte en offentliggjort RTP-procent (return to player), som bestemmer den teoretiske huskant. Nogle softwareudviklere vælger at offentliggøre RTP for deres spilleautomater, mens andre ikke gør det. På trods af den faste teoretiske RTP er næsten alle udfald mulige på kort sigt. ^[2]

Standardafvigelse[redigér | rediger kildetekst]

Lykkefaktoren i et casinospil kvantificeres ved hjælp af standardafvigelse (SD). Standardafvigelsen i et simpelt spil som roulette kan beregnes enkelt på grund af den binomiale fordeling af succeser (hvis man antager et resultat på 1 enhed for en gevinst og 0 enheder for et tab). For binomialfordelingen er SD lig med ${\sqrt {npq}}$ , hvor $n$ er antallet af spillede runder, $p$ er sandsynligheden for at vinde, og $q$ er sandsynligheden for at tabe. Hvis vi desuden satser 10 enheder pr. runde i stedet for 1 enhed, øges antallet af mulige udfald 10 gange. Derfor er SD for Roulette even-money bet lig med $2b{\sqrt {npq}}$ , hvor $b$ er den faste indsats pr. runde, $n$ er antallet af runder $p=18/38$ , og $q=20/38$ .

Efter et tilstrækkeligt stort antal runder vil den teoretiske fordeling af den samlede gevinst konvergere mod normalfordelingen, hvilket giver en god mulighed for at forudsige den mulige gevinst eller tab. For eksempel, efter 100 runder til $1 pr. runde, vil standardafvigelsen for gevinsten (og ligeledes for tabet) være $2\cdot \$1\cdot {\sqrt {100\cdot 18/38\cdot 20/38}}\approx \$9.99$ . Efter 100 runder vil det forventede tab være $100\cdot \$1\cdot 2/38\approx \$5.26$ .

3 sigma-intervallet er seks gange standardafvigelsen: tre over gennemsnittet og tre under. Derfor vil resultatet efter 100 runder, hvor der satses 1 dollar pr. runde, med stor sandsynlighed ligge et sted mellem $-\$5.26-3\cdot \$9.99$ og $-\$5.26+3\cdot \$9.99$ , dvs. mellem -$34 og $24. Der er stadig en ca. 1 til 400 chance for, at resultatet ikke vil være i dette interval, dvs. enten vil gevinsten overstige $24, eller også vil tabet overstige $34.

Standardafvigelsen for lige penge på roulette er en af de laveste af alle casinospil. De fleste spil, især spilleautomater, har ekstremt høje standardafvigelser. Når størrelsen på de potentielle udbetalinger stiger, gør standardafvigelsen det også.

Desværre er ovenstående betragtninger for et lille antal runder forkerte, da fordelingen er langt fra normal. Desuden konvergerer resultaterne af mere ustabile spil normalt til normalfordelingen meget langsommere, og derfor kræves der et meget større antal runder til det.

Efterhånden som antallet af runder stiger, vil det forventede tab til sidst overstige standardafvigelsen mange gange. Ud fra formlen kan vi se, at standardafvigelsen er proportional med kvadratroden af antallet af spillede runder, mens det forventede tab er proportionalt med antallet af spillede runder. Når antallet af runder stiger, vil det forventede tab stige meget hurtigere. Det er derfor, det er praktisk talt umuligt for en gambler at vinde på lang sigt (hvis de ikke har en fordel). Det er det høje forhold mellem kortsigtet standardafvigelse og forventet tab, der narrer spillere til at tro, at de kan vinde.

Volatilitetsindekset (VI) er defineret som standardafvigelsen for en runde, hvor der satses en enhed. Derfor er VI for lige penge på amerikansk roulette følgende ${\sqrt {18/38\cdot 20/38}}\approx 0.499$ .

Variansen v er defineret som kvadratet på VI. Derfor er variansen for en indsats på lige penge på amerikansk roulette ca. 0,249, hvilket er ekstremt lavt for et casinospil. Variansen for Blackjack er ca. 1,2, hvilket stadig er lavt sammenlignet med varianserne for elektroniske spillemaskiner (EGM'er).

Derudover bruges udtrykket for volatilitetsindekset baseret på nogle konfidensintervaller. Normalt er det baseret på 90% konfidensintervallet. Volatilitetsindekset for 90%-konfidensintervallet er ca. 1,645 gange så stort som det "almindelige" volatilitetsindeks, der relaterer sig til ca. 68,27% konfidensinterval.

Det er vigtigt for et casino at kende både husets fordel og volatilitetsindekset for alle deres spil. Husets fordel fortæller dem, hvor stor en fortjeneste de vil få i procent af omsætningen, og volatilitetsindekset fortæller dem, hvor meget de har brug for i form af kontantreserver. De matematikere og computerprogrammører, der udfører denne slags arbejde, kaldes spilmatematikere og spilanalytikere. Casinoer har ikke intern ekspertise på dette område, så de outsourcer deres krav til eksperter inden for spilanalyse. ^[5]

Bingo sandsynlighed[redigér | rediger kildetekst]

Sandsynligheden for at vinde et spil bingo (hvis man ignorerer samtidige vindere, så gevinster udelukker hinanden) kan beregnes som:

P(Win)=1-P(Loss)

da det er gensidigt udelukkende at vinde og tabe. Sandsynligheden for at tabe er den samme som sandsynligheden for, at en anden spiller vinder (indtil videre antager vi, at hver spiller kun har ét bingokort). Med $n$ deltagende spillere: $P(Loss)=P(P_{2}{\mbox{ or }}P_{3}{\mbox{ or }}...P_{n-1}{\mbox{ or }}P_{n})$ med $n$ spillere, og vores spiller er udpeget 1 $P_{1}$ . Dette er også angivet (for gensidigt udelukkende begivenheder) som $P(Loss)=P(P_{2})+P(P_{3})+...+P(P_{n})$ .

Hvis sandsynligheden for at vinde for hver spiller er lige stor (som man ville forvente i et retfærdigt hasardspil), så er $P(P_{1})=P(P_{2})=...=P(P_{n})$ og dermed $P(Loss)=(n-1)P(P_{1})$ og derfor $P(Win)=P(P_{1})=1-(n-1)P(P_{1})$ . En forenkling af udbytte

P(P_{1})=1/n

Hvis der købes mere end ét kort, kan hvert kort ses som svarende til de ovenstående spillere, der har lige stor chance for at vinde. $P(C_{1})=1/n_{C}$ hvor $n_{C}$ er antallet af kort i spillet, og $C_{1}$ er det kort, vi er interesserede i.

En spiller ( $P_{1}$ ) der har $m$ kort, vil derfor være vinderen, hvis et af disse kort vinder (fortsat uden at tage højde for samtidige gevinster):

P(P_{1})=P(C_{1})+P(C_{2})+...+P(C_{m})=m/n_{C}

En simpel måde for en spiller at øge sine vinderchancer på er derfor at købe flere kort i et spil (øge m).

Samtidige gevinster kan forekomme i visse spiltyper (f.eks. online bingo, hvor vinderen bestemmes automatisk i stedet for f.eks. at råbe "Bingo"), hvor gevinsten deles mellem alle de samtidige vindere. Sandsynligheden for at vores kort, $C_{1}$ , at vinder, når der enten er en eller flere samtidige vindere, er udtrykt ved:

P(C_{1})=P(w){\frac {w}{n_{C}}}

hvor $P(w)$ er sandsynligheden for, at der er $w$ samtidige vindere (en funktion af spiltypen og antallet af spillere) og ${\frac {w}{n_{C}}}$ er den (fair) sandsynlighed for, at $C_{1}$ er et af de vindende kort. Den samlede forventede værdi for udbetalingen (1 repræsenterer den fulde gevinstpulje) er derfor:

E={\frac {1}{1}}{\frac {1}{n_{C}}}P(1)+{\frac {1}{2}}{\frac {2}{n_{C}}}P(2)+...+{\frac {1}{n_{C}}}{\frac {n_{C}}{n_{C}}}P(n_{C})

E={\frac {1}{n_{C}}}(P(1)+P(2)+...+P(n_{C}))

For et normalt bingospil, der spilles, indtil der er en vinder, er sandsynligheden for, at der er et vinderkort, enten $P(1)$ eller $P(2)$ eller ... eller $P(n_{C})$ , og idet disse udelukker hinanden, kan det siges, at

P(1)+P(2)+...+P(n_{C})=1

og derfor dette

E={\frac {1}{n_{C}}}

Det forventede resultat af spillet ændres derfor ikke af samtidige vindere, så længe puljen er fordelt ligeligt mellem alle samtidige vindere. Dette er blevet bekræftet numerisk. ^[6]

For at undersøge, om det er bedre at spille flere kort i et enkelt spil eller at spille flere spil, beregnes sandsynligheden for at vinde for hvert scenarie, hvor $m$ kort er købt.

P(win)_{multiplecards}={\frac {m}{m+n-1}}

hvor n er antallet af spillere (såfremt man antager, at hver modspiller kun spiller ét kort). Sandsynligheden for at tabe et enkelt spil, hvor der kun spilles et enkelt kort, er udtrykt som:

P(loss)_{game}=1-P(win)=1-{\frac {1}{n}}

Sandsynligheden for at tabe $m$ spil er udtrykt som:

P(loss)_{multiplegames}=(1-{\frac {1}{n}})^{m}

Sandsynligheden for at vinde mindst ét spil ud af $m$ spil er den samme som sandsynligheden for ikke at tabe alle $m$ spil:

P(win)_{multiplegames}=1-(1-{\frac {1}{n}})^{m}

Når $m=1$ , er disse værdier ens:

P(win)_{multiplecards}=P(win)_{multiplegames}

men det er blevet vist ^[6] at $P(win)_{multiplegames}>P(win)_{multiplecards}$ til $m>1$ . Fordelen ved $P(win)_{multiplegames}$ vokser, både når $m$ vokser og $n$ falder. Det er derfor altid bedre at spille flere spil end flere kort i et enkelt spil, selvom fordelen mindskes, når der er flere spillere med i spillet. ^[6] ^[7]

Se også[redigér | rediger kildetekst]

Matematik i bookmaking
Sandsynlighed for poker
Statistiske fodboldforbunds forudsigelser
Online gambling
Online bingo

Referencer[redigér | rediger kildetekst]

^ ^a ^b Catalin Barboianu. "Roulette Strategi".{{cite web}}: CS1-vedligeholdelse: url-status (link) Fodnotefejl: Ugyldigt <ref> tag; navnet ":2" er defineret flere gange med forskelligt indhold
^ ^a ^b ^c ^d ^e Yi, Ning (2021). "赌局中的不败法则：用数学概率讲解赌博，为什么会十赌九输！". 知乎专栏 (kinesisk). Hentet 2023-04-20. Fodnotefejl: Ugyldigt <ref> tag; navnet ":3" er defineret flere gange med forskelligt indhold
^ "Casino Mathematics – Statistics and Data". Mathigon (engelsk). Hentet 2023-04-20.
^ "Roulette". britannica.
^ ^a ^b Mingkang, Zhang (2021). "赌博行为的发展历史与其影响". 知乎专栏 (Chinese). Hentet 2023-04-20.{{cite web}}: CS1-vedligeholdelse: Ukendt sprog (link) Fodnotefejl: Ugyldigt <ref> tag; navnet ":0" er defineret flere gange med forskelligt indhold
^ ^a ^b ^c "Bingo Odds & Probability Of Winning". Fodnotefejl: Ugyldigt <ref> tag; navnet "busybee" er defineret flere gange med forskelligt indhold
^ Akusobi, Chidi (2010). "Should You Bet On It? The Mathematics of Gambling – Yale Scientific Magazine". www.yalescientific.org. Hentet 2023-04-20.

Denne artikel er helt eller delvist baseret på Wikipedia-artiklen "Gambling mathematics".

Yderligere læsning[redigér | rediger kildetekst]

The Mathematics of Gambling, af Edward Thorp,ISBN 0-89746-019-7
The Theory of Gambling and Statistical Logic, Revised Edition, af Richard Epstein,ISBN 0-12-240761-X
The Mathematics of Games and Gambling, anden udgave, af Edward Packel,ISBN 0-88385-646-8
Sandsynlighedsguide til gambling: matematikken om terninger, spillemaskiner, roulette, baccarat, blackjack, poker, lotteri og sportsvæddemål, af Catalin Barboianu,ISBN 973-87520-3-5 ,
- uddrag
Luck, Logic, and White Lies: The Mathematics of Games, af Jörg Bewersdorff, 2005, 2. udgave 2021,ISBN 978-1-00309-287-2 ,doi:10.1201/9781003092872 , introduktion af 1. udgave
Understanding Your Game: A Mathematicians Advice for Rational and Safe Gambling, af Catalin Barboianu,ISBN 978-606-9735-00-8

Eksterne links[redigér | rediger kildetekst]

[:2-1] Catalin Barboianu. "Roulette Strategi".{{cite web}}: CS1-vedligeholdelse: url-status (link) Fodnotefejl: Ugyldigt <ref> tag; navnet ":2" er defineret flere gange med forskelligt indhold

[:3-2] Yi, Ning (2021). "赌局中的不败法则：用数学概率讲解赌博，为什么会十赌九输！". 知乎专栏 (kinesisk). Hentet 2023-04-20. Fodnotefejl: Ugyldigt <ref> tag; navnet ":3" er defineret flere gange med forskelligt indhold

[3] "Casino Mathematics – Statistics and Data". Mathigon (engelsk). Hentet 2023-04-20.

[:1-4] "Roulette". britannica.

[:0-5] Mingkang, Zhang (2021). "赌博行为的发展历史与其影响". 知乎专栏 (Chinese). Hentet 2023-04-20.{{cite web}}: CS1-vedligeholdelse: Ukendt sprog (link) Fodnotefejl: Ugyldigt <ref> tag; navnet ":0" er defineret flere gange med forskelligt indhold

[busybee-6] "Bingo Odds & Probability Of Winning". Fodnotefejl: Ugyldigt <ref> tag; navnet "busybee" er defineret flere gange med forskelligt indhold

[:4-7] Akusobi, Chidi (2010). "Should You Bet On It? The Mathematics of Gambling – Yale Scientific Magazine". www.yalescientific.org. Hentet 2023-04-20.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]