De Moivres formel

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Jump to navigation Jump to search

De Moivres formel, opkaldt efter Abraham de Moivre, er en matematisk formel. Den siger, at der for alle og gælder, at

,

hvor er den imaginære enhed, der opfylder . Formlen er vigtig, fordi den forbinder de komplekse tal med trigonometrien. Udtrykket "cos x + i sin x" forkortes somme tider "cis x."

Ved at skrive venstresiden ud og derefter sammenligne real- og imaginærdele, er det muligt at udlede brugbare formler for cos(nx) og sin(nx) udtrykt ved cos(x) og sin(x). Ydermere kan denne formel bruges til at finde eksplicitte udtryk for de n'te enhedsrødder; det vil sige komplekse tal z, der opfylder, at zn = 1.

Abraham de Moivre var en af Newtons gode venner; i 1698 skrev han, at Newton havde kendt til formlen så tidligt som 1676. Den kan let udledes fra (men kom historisk set før) Eulers formel eix = cos x + i sin x og eksponentialregelen (eix)n = einx (se eksponentialfunktion).

De Moivres formel er faktisk sand i en mere generel ramme end den ovenfor: hvis z og w er komplekse tal, så er (cos z + i sin z)w en funktion af flere værdier, mens cos (wz) + i sin (wz) ikke er, og der gælder, at

cos (wz) + i sin (wz) er én værdi af (cos z + i sin z)w.