Spring til indhold

Fouriertransformation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Fouriertransformation også kaldet Fourierafbildning er en matematisk funktion der bruges inden for blandt andet signalbehandling. En Fouriertransformation benyttes til at omregne mellem et tidsdomæne (tidssignal) til et frekvensdomæne (superposition af frekvenser).

For eksempel kan man med Fouriertransformation "måle" hvilke rene toner, der indgår i en digital indspilning af en stump musik. Man kan betragte en Fouriertransformation som en måde at nedbryde en funktion, så alle dens frekvenskomponenter bliver adskilt i et frekvensspektrum. Omvendt vil en invers-Fouriertransformation af et spektrum ideelt set resultere i funktionen selv. Man kan sammenligne det med at tage en akkord (funktionen) og adskille den i de enkelte toner (frekvenser), som den indeholder.

Fouriertransformationen er en uendelig linearkombination af sinus og cosinus funktioner, omskrevet til komplekse funktioner. Den er opkaldt efter den franske matematiker Joseph Fourier. Fourierrækker er et nært beslægtet område.

Matematikken bag Fouriertransformationen

[redigér | rediger kildetekst]

Fouriertransformation af et kontinuert-tidssignal er givet ved følgende integral:

.

Her er vinkelfrekvensen, er grundtallet for den naturlige logaritme og er den imaginære enhed. Denne operation betegnes også som Fourieranalyse. Tilsvarende kan den inverse Fouriertransformation defineres som:

Den inverse operation betegnes også som Fouriersyntese. I mange sammenhænge er en reel funktion, mens ofte bliver til en kompleks funktion.

Bruger man den cykliske frekvens i stedet for vinkelfrekvensen får man Fourierintegralerne til at blive:

Med Eulers formel kan man omskrive Fourierintegralerne så de bliver udtrykt med sinus og cosinus funktionerne:

Alternative definitioner

[redigér | rediger kildetekst]

Fouriertransformationen og dens inverse transformation kan også defineres på andre måder:

.

Her skal det gælde at . Indenfor visse områder bruger man følgende normalisering: .

Diskret Fouriertransformation

[redigér | rediger kildetekst]

Hvis tiden og (vinkel)frekvensen bliver diskretiseret og er endelige taler man om diskret Fouriertransformation (DFT). DFT udføres sædvanligvis med en hurtig algoritme kaldet FFT efter engelsk fast Fourier transform. Den diskrete Fouriertransformation kan defineres som:

Den tilsvarende inverse diskrete Fouriertransformation defineres da som

Tabel over vigtige Fouriertransformationer

[redigér | rediger kildetekst]

De følgende tabeller viser nogle closed-form Fouriertransformationer. For funktioner f(x), g(x) og h(x) vises deres Fouriertransformationer ved henholdsvis , og . Kun de tre mest almindelige Fouriertransformationskonventioner er inkluderet.

Det kan være nyttigt at bemærke at 105 giver en sammenhæng mellem en Fouriertransformation af en funktion og den oprindelige funktion, hvilket kan ses ved sammenhængen mellem Fouriertransformation og dens inverse.

Funktionelle sammenhænge

[redigér | rediger kildetekst]

Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i Erdélyi1954[1] eller Kammler2000[2].

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
Bemærkninger



Definition
101 Linaritet
102 Parallelforskydning i tidsdomænet
103 Parallelforskydning i frekvensdomænet, duale af 102
104 Skalering i tidsdomænet. Hvis er stor, så er koncentreret omkring 0 og spredes ud - og trykkes mod ordinataksen.
105 Dualitet.
106
107 Dette er den duale af 106
108
109 Dette er den duale af 108
110 For rent reelle funktioner Hermitisk symmetri.
111 For med rent reelle lige funktioner , og er rent reelle lige funktioner.
112 For med rent reelle ulige funktioner , og er rene imaginære ulige funktioner.
113 Kompleks konjugation, generalisering af 110
114
115

Kvadratisk-integrable funktioner

[redigér | rediger kildetekst]

Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i CampbellFoster1948[3], Erdélyi1954[1] eller appendiks af Kammler2000[2].

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
Bemærkninger



201
202 Duale af regel 201.
203
204 Duale af regel 203.
205
206
207
208
209

 


 


 

Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i Erdélyi1954[1] eller appendiks i Kammler2000[2].

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
Bemærkninger



301 Fordelingen δ(ξ) henviser til Diracs deltafunktion.
302 Duale af regel 301.
303 Dette følger af 103 og 301.
304
305
306
307
308
309
310

311
Specielt tilfælde af 311.
312 Den duale af regel 309.
313
314
315
316 Dette er en generalisering af 315.
317 er Euler–Mascheroni konstant.
318

To-dimensionelle funktioner

[redigér | rediger kildetekst]
Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
400



401
402

Formler for generelle n-dimensionelle funktioner

[redigér | rediger kildetekst]
Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
500



501


502
503
504


Kilder/referencer

[redigér | rediger kildetekst]
  1. ^ a b c Erdélyi, Arthur, ed. (1954), Tables of Integral Transforms 1, New Your: McGraw-Hill
  2. ^ a b c [Kammler, David (2000), A First Course in Fourier Analysis, Prentice Hall,] ISBN 0-13-578782-3
  3. ^ Campbell, George; Foster, Ronald (1948), Fourier Integrals for Practical Applications, New York: D. Van Nostrand Company, Inc..