Forhold mellem ortogonale linjer

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

I analytisk plangeometri findes der en sætning der beskriver forholdet mellem ortogonale (vinkelrette) linjer.

Sætning[redigér | redigér wikikode]

To linjer og , med hældningskoefficienterne henholdvis og , er ortogonale netop, hvis produktet af deres hældninger er :

Bevis[redigér | redigér wikikode]

Ortogonale linjer

Vi betragter tegningen. Kan vi se at;

Vi benytter os af Pythagoras' læresætning. Og ovenstående må således medføre følgende, da vi må kunne danne en retvinklet trekant (ABC).

Vi ser på tegningen. Længden kan vi se er hældningskoefficienten af ligningen . Dette må være sandt, da vi går længden én ud af abscisseaksen (x-aksen) må vi gå opaf ordinataksen (y-aksen). Dette gælder også for , med den undtagelse at denne er negativ i sig selv. Derfor skriver vi det negative fortegn, således at længden |DC| bliver positiv (da negative længder ingen mening giver). F.eks. .

Længderne |AB| og |AC| er hypotenuser i de to mindre retvinklet trekanter der er indtegnet. Så Pythagoras benyttes også til at beskrive disse. (Meget uformelt sagt, benytter vi nu Pythagoras inden i Pythagoras) Overstående udtryk medfører derfor:

Dette udtryk reduceres nu bare med elementært algebra:

Vi ser således at førse linje, , medfører den sidste linje, .

Sætningen er dermed bevist.