Se kilde til Kommutator (matematik)

{{harflertydig4|Angående en [[elektrisk omskifter]] som periodisk vender strømmens retning, se [[kommutator (elektrisk)|kommutator]]}}
{{harflertydig9}}
{{Eftersyn|dato=april 2020}}
I [[matematik]] indikerer{{Hvordan?|dato=2020}} '''kommutatoren''' hvor dårligt en bestemt [[binær operator|binær operation]] [[kommutativitet|kommuterer]]. Der anvendes forskellige definitioner i [[gruppeteori]] og [[ring (matematik)|ringteori]].

== Gruppeteori ==

'''Kommutatoren''' af to elementer ''g'' og ''h'' i en [[Gruppe (matematik)|gruppe]] ''G'' er elementet
:[''g'', ''h''] = ''g''<sup>−1</sup>''h''<sup>−1</sup>''gh''
Den er lig med gruppens identitet hvis og kun hvis ''g'' og ''h'' kommuterer (dvs. hvis og kun hvis ''gh'' = ''hg'').

N.B. Nogle steder vælges kommutatoren at defineres som
:[''g'', ''h''] = ''ghg''<sup>−1</sup>''h''<sup>−1</sup>

=== Identiteter ===

I det følgende angiver ''a<sup>x</sup>'' det ''x''-konjugerede element ''x<sup>−1</sup>a x''.

* <nowiki>[y,x] = [x,y]</nowiki> <sup>−1</sup>
* <nowiki>[[x,y</nowiki><sup>−1</sup><nowiki>],z]</nowiki> <sup>y</sup> <nowiki>[[</nowiki>y,z<sup>−1</sup><nowiki>],x] </nowiki><sup>z</sup> <nowiki>[[</nowiki>z,x<sup>−1</sup><nowiki>],y]</nowiki><sup>x</sup> = 1
* <nowiki>[xy,z] = [x,z]</nowiki><sup>y</sup> <nowiki>[y,z]</nowiki>
* <nowiki>[x,yz] = [x,z] [x,y]</nowiki><sup>z</sup>

Den anden identitet er også kendt under navnet ''Hall-Witt identiteten''. Den er en gruppe-teoretisk analog af Jacobi-identiteten for den ring-teoretiske kommutator (se næste sektion).

== Ringteori ==

'''Kommutatoren''' af to elemeter ''a'' og ''b'' i en [[ring (matematik)|ring]] eller [[associativ algebra]] er defineret ved
:[''a'', ''b''] = ''ab'' − ''ba''
Den er nul hvis og kun hvis ''a'' og ''b'' kommuterer. I [[lineær algebra]] haves at hvis to matricer kommuterer i en basis, vil de kommutere i enhver anden basis.{{bør uddybes|dato=2020}}<!-- Trivielt at producere et modeksempel over Z/6Z -->

Kommutatoren af to [[operator]]er defineret i et [[Hilbertrum]] er et vigtigt koncept i [[kvantemekanik]], da den angiver hvor godt de to målbare størrelser beskrevet af operatorerne kan måles samtidigt. [[Heisenbergs usikkerhedsprincip|Usikkerhedsprincippet]] er i bund og grund en [[sætning (matematik)|sætning]] om disse kommutatorer.

Ligeledes er ''antikommutatoren'' defineret som ''ab'' + ''ba'', ofte skrevet { ''a'', ''b'' }.

=== Identiteter ===
Kommutatoren har de følgende egenskaber:

''Lie-algebra relationer:''
<code>
* [A,B] = − [B,A]
* [A,A] = 0
* [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0
</code>

''Yderligere relationer:''
<code>
* [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
* [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
* [A,BC] = [AB,C] + [CA,B]
* [ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC
</code>

== Kilder ==
{{Henvisninger|dato=2020}}
* {{cite book | last = Griffiths | first = David J. | title=Introduction to Quantum Mechanics | edition = 2. | publisher=Prentice Hall |year=2004 |id={{ISBN|013805326X}}}}
* {{cite book | last = Liboff | first = Richard L. | title=Introductory Quantum Mechanics | publisher=Addison-Wesley | year=2002 | id={{ISBN|0805387145}}}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Abstrakt algebra]]