Kvadratrod

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Kvadratrodsfunktionen i intervallet [0,9]

Kvadratroden af et tal x er det ikke-negative tal t, som tilfredsstiller ligningen t2 = x. For alle ikke-negative tal x er t et reelt tal. Kvadratrod skrives som \sqrt{x}, eller x^{1/2} . Når kvadratrod skrives som potens, opnås at regnereglerne for kvadratrod bliver specialtilfælde af potensreglerne.

Kvadratroden af de første 5 naturlige tal[redigér | redigér wikikode]

\sqrt{1} = 1
\sqrt{2} \approx 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462
\sqrt{3} \approx 1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806979451933016909
\sqrt{4} = 2
\sqrt{5} \approx 2.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925638

Egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Funktionen f(x) = \sqrt{x}, har følgende egenskaber:

Definitionsmængden for kvadratrodsfunktionen er defineret for ikke negative reelle tal Dm(f)= [0;\infty[

Værdimængden er Vm(f) = [0;\infty[.

Funktionen er kontinuert, voksende og konkav.

Differentialkvotienten kan ud fra princippet om at kvadratroden er x i en "halvte", beregnes til  f'(x) = {1\over 2}\cdot x^{-1/2}= {1\over 2 \sqrt{x}}

Integralet er defineret ved \int{\sqrt{x}} \; \textrm{d}x = {2\over 3}x^{3/2} +k = {2\over 3} x \sqrt{x} +k, k\in \mathbb{R} \, .

Kvadratrødder af komplekse tal[redigér | redigér wikikode]

Inden for de komplekse tal har ligningen ligningen t2 = z altid 2 løsninger når z er forskellig fra nul og der er som udgangspunkt ingen måde at definere en kvadratrod til et være den ene frem for den anden af disse løsninger. Der er f.eks. ingen fornuftig grund til at identificere "kvadratroden af .1 med det komplekse tal i frem for det komplekse tal -i. Hvis z=|z|(\cos (\theta)+i\sin(\theta)) så har ligningen t2 = z løsningerne

 t=\pm |z|^{1/2}\cdot\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)

Kvadratrødder kan dog godt defineres som en funktion på et 1-sammenhængende område, som ikke indeholder tallet 0.

Historie[redigér | redigér wikikode]

Symbolet \sqrt{} blev først benyttet i 1500-tallet. Det specielle "rod-symbol", der bruges til kvadratrod er en tillempet udgave af bogstavet r. Det står for det latinske ord radix, som betyder rod.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til: