Ligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Broom icon.svg Der er ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket muligvis er et problem.
Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande, der fremføres i artiklen.
Question book-4.svg
Broom icon.svg Denne side virker ikke som en encyklopædisk artikel
 Du kan se hvad Wikipedia er og ikke er og hjælpe ved at omskrive den til en konkret og dokumenteret beskrivelse af fakta.
Searchtool.svg Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

En matematisk ligning er et udtryk som fastslår at to udtryk (ofte kaldet hhv. venstre og højre side af ligningen) er lige store, skrevet op på formen: (Det ene udtryk) = (det andet udtryk). Almindeligvis indgår én eller flere ubekendte talstørrelser, repræsenteret ved et eller flere bogstaver (ofte x).

Et eksempel på en ligning er:


Som alle andre ligninger løses den ovenstående ved at isolere den ubekendte størrelse x under brug af bestemte regneregler for ligninger: Derved bliver der populært sagt "flyttet rundt" på ligningen, så der ender med at stå, i dette tilfælde:


Er der kun en enkelt ubekendt, ender man med den isolerede størrelse (her x) på den ene side af lighedstegnet, og et større eller mindre "regnestykke" med lutter kendte talstørrelser på den anden: Svaret på dette regnestykke er det tal der får de to udtryk i den oprindelige ligning til at være lig med hinanden, og det fundne tal for x siges at tilfredsstille ligningen.

Når man har fundet frem til at x er lig med et bestemt tal, kan man kontrollere den fundne løsning ved at erstatte alle forekomster af x i den oprindelige ligning: Dette giver to regneudtryk med lutter tal, hvis resultater skal være ens ifølge lighedstegnet imellem dem.

Generelt inddeler man ligninger i tre forskellige "hovedkategorier":

  • Identiteter (eller formler) er regneudtryk der "altid" er sande, uanset talværdien af de(n) ubestemte størrelse(r). Eksemplet på dette er den såkaldte "idiotformel": cos²x + sin²x = 1
  • Absurditeter, som er ligninger hvor de to sider aldrig kan blive lige store, f.eks. x = x + 1
  • Bestemmelsesligninger, som er ligninger der tilfredsstilles af visse talværdier (én eller flere – gerne uendeligt mange, som det er tilfældet med bl.a. trigonometriske ligninger), men ikke alle.

Uafhængigt af ovenstående kategorier kan en ligning også klassificeres efter de regneoperationer den involverer, og dermed hvordan ligningen (for bestemmelsesligningernes vedkommende) skal løses:

Andengradsligning
Tredjegradsligning
Ligning af højere grad
Eksponentiel ligning
Trigonometrisk ligning
Differentialligning
Differentialligning af højere orden
Integralligning
Diofantisk ligning

med flere.

Regneregler for ligninger[redigér | redigér wikikode]

Der findes en række regneregler for ligninger, som beskriver de regneoperationer man kan lave på en ligning for at isolere en bestemt størrelse (som regel symboliseret ved bogstavet x). Generelt gælder, at man "har lov" til at foretage en lang række forskellige regneoperationer på en ligning, så længe man konsekvent gør det samme på begge sider af lighedstegnet.

De fire regnearter[redigér | redigér wikikode]

Man kan addere ("plus"), subtrahere ("minus"), multiplicere ("gange") og dividere med det samme (frit valgte) tal på begge sider af lighedstegnet. Tallet nul er lidt af en undtagelse: Man kan ikke dividere med nul.

Følgende eksempel demonstrerer brugen af denne regel på ligningen

For at isolere den ubekendte størrelse (her x) skal alt hvad der "har med x at gøre" samles på den ene side af lighedstegnet. Det klares i dette eksempel ved at trække x fra på begge sider:

På venstre side var der i forvejen 3 · x, hvorefter der blev trukket én gange x fra, så tilbage på venstre side står 2 · x – 4. På højre side stod et enkelt x, som nu "ophæves" af det x der netop er trukket fra, så efter denne operation ser ligningen således ud:

Tilsvarende kan man flytte de -4 på venstre side over på den højre (dvs. "væk" fra siden med x) ved at lægge 4 til på begge sider. Så haves, at:

På venstre side "ophæver" -4 og +4 hinanden (billedlig talt: Fire skridt fremad og fire tilbage fører tilbage til udgangspunktet), mens man på højre side erstatter det lille regnestykke med svaret, dvs. 12. Så står der:

For at "slippe af" med 2-tallet på venstre side (så x bliver isoleret, dvs. står alene, på venstre side af ligningen) kan man nu dividere med 2 på begge sider af lighedstegnet, hvorved ligningen ser sådan ud:

Brøken på venstre side kan forkortes med 2, dvs. de to 2-taller (og med dem brøkstregen!) "forsvinder". På højre side er der kun "almindelige", bekendte tal; brøken her er lig med 6. Nu kan ligningen opskrives som:

Ved at vælge det rigtige tal og den rigtige regneoperation, kan man med reglen om at bruge de fire regnearter på ligninger flytte tal, bekendte såvel som ubekendte, mellem de to sider, og fjerne koefficienter til den/de ubekendte. Regnereglerne kan tilsvarende bruges, når der arbejdes med uligheder. Dog skal man huske, at hvis der ganges el. divideres med et negativt tal, så skal ulighedstegnet vendes om.

Nulreglen: Et produkt giver 0, netop når mindst en af faktorerne er 0

F.eks: ab = 0

a = 0 eller b = 0

Matematiske funktioner[redigér | redigér wikikode]

Man kan, med visse begrænsinger, anvende forskellige matematiske funktioner på begge sider af lighedstegnet. Betingelsen er at funktionen er injektiv, dvs. at for funktionen f og 2 tal x og y som f er defineret for, skal det gælde at hvis f(x) = f(y) så er x = y. For eksempel må man generelt ikke kvadrere siderne i en ligning fordi kvadratfunktionen ikke er injektiv idet x² = (-x)². Men hvis man kan vise eller forudsætte at begge sider af ligningen er positive eller at begge sider er negative, er det tilladt at kvadrere da man i så fald har begrænset brugen af kvadratfuntionen til et område hvor den er injektiv. Drejer det sig om en forudsætning, skal man efterfølgende sikre sig at den holder for de fundne løsninger.

Visse funktioner er ikke defineret for alle tal (f.eks. kan man ikke tage logaritmen til andet end positive tal), så hvis man bruger en sådan funktion af lighedstegnet i en ligning, sker det på betingelse af at begge sider giver et tal hvori den anvendte funktion er defineret.
Dette kan betyde, at når man har regnet sig frem til én eller flere værdier for den ubekendte, må man sikre sig at ingen af løsningerne giver anledning til at der undervejs i de beregninger man har foretaget, bliver taget f.eks. en logaritme til nul eller et negativt tal. Løsninger der støder på sådanne "problemer" undervejs, må kasseres – evt. med den konsekvens at ligningen ingen løsninger har, og derfor (blandt matematikere) omtales som en absurditet.

Logaritmer[redigér | redigér wikikode]

Hvis man i en ligning har en side på formen tx, hvor t er et konstant, kendt tal og x er den ubekendte der skal isoleres, kan man tage logaritmen (enten naturlig, ti-tals-, eller logaritmer med ethvert andet grundtal) til begge sider, eftersom tx altid er større end nul (for positive værdier af t). Da man skal gøre det samme på begge sider af lighedstegnet, må man betinge sig at den anden side også er positiv for alle relevante løsninger for den ubekendte.

Potenser[redigér | redigér wikikode]

For heltallige værdier af n er xn defineret for alle reelle tal x. Man kan uden begrænsninger opløfte begge sider til en ulige heltallig potens for at "pille" for eksempel et kubikrodstegn af den ubekendte. Man kan opløfte til lige potenser for at fjerne for eksempel kvadrattegn når det vides at ligningens sider har samme fortegn.

Rødder[redigér | redigér wikikode]

Hvis man har ligning på formen xt = a, hvor t er en kendt konstant og forskellig fra 0, kan man tage den t'te rod på begge sider af lighedstegnet. Dog skal man være opmærksom på, at for negative værdier af a og lige, heltallige værdier af t, giver et komplekst tal; dette kan udelukke løsninger hvis man på forhånd ved at det ubekendte x skal være et reelt tal.

Se også[redigér | redigér wikikode]