n'te rod

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Rødder af heltallene fra 0 til 10.

.

I matematik er den n'te rod af et tal x de tal r, som opløftet til potensen n giver x, hvor n er et positivt heltal

eller
r = ,

hvor n er graden af roden. En rod af anden grad kaldes kvadratroden, en rod af tredjegrad kaldes kubikrod. Rødder af højere grad er beskrevet ved hjælp af ordenstal, som i fjerde rod, tyvende rod, osv

Eksempel:

  • 2 er kvadratroden af ​​fire, siden 22 = 4
  • -2 er kvadratroden af ​​fire, da (-2)2 = 4

Udtrykket er opfundet af Michel Rolle.[1]

Et reelt tal eller komplekst tal har n rødder af graden n. Mens rødderne af 0 ikke adskiller sig (alle er lig 0), er de n n'te rødder af ethvert reelt eller komplekst tal forskelligt fra 0 alle forskellige.

Man skelner følgende tilfælde for værdier af n og x:

  • Hvis n er lige, og x er reel og positiv, er en af ​​dens n'te rødder rødder positiv, en er negativ, og resten er enten ikke-eksisterende (i det tilfælde, hvor n = 2) eller komplekse. Den positive n'te rod kaldes den principale rod.
  • Hvis n er lige, og x er reel og negativ, da er ingen af ​​de n'te rødder er reelle.
  • Hvis n er ulige, og x er reel, da er en n'te rod reel og har samme fortegn som x, mens de andre rødder er komplekse.
  • Endelig, hvis x er ikke reel, så er ingen af ​​dens n'te rødder er reelle.

Rødder skrives normalt ved hjælp af rodtegnet eller radix eller , med eller angives den principale kvadratrod, angiver kubikroden, angiver den principale fjerde rod, og så videre. I udtrykket , n kaldes rodeksponent, er rodtegnet eller radix , og x kaldes radikanden eller grundtallet. For relle tal er rodtegnet en funktion, som entydigt bestemmer en værdi. Dette opnås ved at bruge den principale værdi når n er lige.

I infinitesimalregning behandles rødder som særlige tilfælde af potens, hvor eksponenten er en brøk:

Rødder er særligt vigtige i teorien om uendelige rækker; rodkriteriet kan bruges til at afgøre om en uendelig række med reelle ikke-negative led konvengerer og fastlægger konvergensradius i potensrækker. N'te rødder kan også defineres for komplekse tal, og de komplekse rødder for 1 (enhedsrod) spiller i vigtig rolle i højere matematik. Galois-teori kan bruges til bestemme, som algebraiske tal der kan udtrykkes hjælp rødder, og at bevise Abel-Ruffinis sætning, hvori det hedder at et generel polynomium af grad fem eller højere ikke kan løses ved hjælp af rødder alene; dette resultat er også kendt som "femtegradsligningens uløselighed".

Algoritme til bestemmelse af n'te rod[redigér | redigér wikikode]

For at beregne kan følgende algoritme anvendes:

  1. Lav et første gæt (desto nærmere desto hurtigere konvergerer algoritmen).
  2. Gentag trin 2, indtil den ønskede nøjagtighed er nået

Udledning[redigér | redigér wikikode]

Algoritmen kan udledes af Newton-Raphsons metoden.

Vi søger altså løsningen til

Iterationsformelen bliver

Eksempel

Beregning af

Løsningen ligger mellem 2 og 3, første gæt sættes til 2,5

: : ;

Efter tre iterationer er nøjagtigheden bedre end 0,000001, da

Referencer[redigér | redigér wikikode]