Kvadratsætningen

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Disambig bordered fade.svg For andre betydninger af ordet Kvadrat, se Kvadrat (flertydig).

Kvadratsætningen siger, hvordan kvadratet af to adderede tal udregnes eller reduceres. Ligningen er:
Sagt med ord: kvadratet af en to-leddet størrelse er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt.

Det er en regel, man stifter bekendtskab med i gymnasiet. Generelt bruges den flittigt inden for det meste matematik. Et eksempel er udledningen af løsningen til andengradsligningen.


Varianter[redigér | redigér wikikode]

Der er flere varianter af kvadratsætningen. F.eks. kan nævnes:

  • (Subtraktion af b fra a)

Udledning[redigér | redigér wikikode]

Ligningen udledes forholdsvis nemt. Det kan gøres for et vilkårligt legeme, men mange gange er det de reelle tal man arbejder med.

(definition af heltallig potens, )

(højre del betragtes som et selvstændigt tal, og der ganges ind i parentesen – distributive love)

(ganger ind i parenteserne igen)

(flytter rundt – kommutative love – og samler sammen)

Bemærk at der er sat lighedstegn hele vejen ned igennem udledningen, og at de alle er gyldige, hvorfor man kan tage det første og sidste led ud. Det er sådan man skriver ligningen op:

Brug i reduktion[redigér | redigér wikikode]

Da det er en ligning kan den bruges begge veje. Hvis man har noget på formen og ønsker noget på formen , så kan man gøre det – men også omvendt.

Her er et eksempel, hvor et udtryk sættes på fælles brøkstreg:

Her er et interessant eksempel, hvor en af varianterne af kvadratsætningen er brugt:

Som man kan se hjælper det meget i reduktion at kunne sine kvadratsætninger udenad, så man kan benytte dem når der er brug for det.

Cirklens centrum og radius[redigér | redigér wikikode]

Givet en cirkelligning kan man bruge kvadratsætningen til at finde dens centrum og radius. Et eksempel:

Man ser først på x-leddene: Hvad skal der til for at de opfylder kvadratsætningens højre del? Svaret fås ved at se på leddet . Da det led må have opstået fra noget på formen (fra kvadratsætningen), så må være og være 2. Vi kan nu reducere x-leddene:

— Tilbage har vi cirkelligningen .

Man gør nu præcis det samme for y-leddene. Se på leddet . For at det opfylder kvadratsætningen, så må være og være 1. Dvs. vi kan skrive:

— Tilbage har vi cirkelligningen der omskrives til .

Man kan ud fra den sidste ligning aflæse at cirklens centrum er (2, 1) og den radius er 3.

Kvadratet på et komplekst tal[redigér | redigér wikikode]

Når mange stifter bekendtskab med komplekse tal synes de at de er forvirrende og svære at arbejde med, men det behøver slet ikke være så svært. Når man ved at , så kan man bruge kvadratsætningen til at finde kvadratet på et komplekst tal :

(resultatet er splittet op i en real- og imaginærdel)

Generalisering[redigér | redigér wikikode]

Kvadratsætningen kan generaliseres til andre potenser. Her er et par stykker:

  • (koefficienter 1, 2, 1)
  • (koefficienter 1, 3, 3, 1)
  • (koefficienter 1, 4, 6, 4, 1)

Det interessante er her at koefficienterne følger mønsteret fra Pascals trekant, hvilket gør det nemt at generalisere sætningen til en vilkårlig potens på en computer.Toppen af trekanten følger potens i 0 og derved videre.

Hvis der mellem de to variabel er et minus skal leddene hvor b forekommer med en ulige potens have fortegnet minus.[1]

Man kan også generalisere sætningen på antallet af variable:

Se også[redigér | redigér wikikode]

Kilde[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ Petersen, B. Østergaard. Matematikleksikon, ISBN 87-23-01012-6, 5., Alinea A/S.