Liouvilles sætning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Liouvilles sætning i kompleks analyse siger, at enhver begrænset hel funktion må være konstant. Det vil sige, at enhver holomorf funktion f, for hvilken der findes et reelt tal M, så |f(z)| ≤ M for alle z i C er konstant.

Liouvilles sætning kan anvendes til at give et elegant og kort bevis for algebraens fundamentalsætning.

Sætningen forbedres betragteligt af Picards sætning, der siger, at enhver hel funktion, hvis billede udelader mindst to komplekse tal, må være konstant.

Bevis[redigér | redigér wikikode]

Givet en begrænset hel funktion f haves for f Taylorudviklingen

om 0, og ifølge Cauchys integralformel gælder

hvor Cr er cirklen om 0 med radius r > 0. Ved at flytte absolutværdien ind i integralet, fås

Bruges nu antagelsen, at |f(z)| ≤ M for alle z, og det faktum, at |z| = r på cirklen Cr, fås

Da er,

Lad nu r gå mod uendelig, så cirklen Cr bliver større. Hvis k er større end 0, vil M/rk gå mod 0, og ak må være nul.

Hvis imidlertid k = 0, er r0 = 1 (r ≠ 0 når r går mod uendelig), så a0 er det eneste led i Taylorrækken, hvilket netop er påstanden.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]